Страница 157 номер 780, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 36 минут, второй и третий — за 48 минут, а первый и третий — за 72 минуты. За сколько минут наполнится бассейн при одновременной работе всех трёх насосов?
Дано:
\(t_{12} = 36\) мин — время наполнения бассейна первым и вторым насосами вместе
\(t_{23} = 48\) мин — вторым и третьим насосами вместе
\(t_{13} = 72\) мин — первым и третьим насосами вместе
Найти: \(t\) — время наполнения бассейна тремя насосами вместе.
Решение:
Обозначим время (в минутах), за которое первый, второй и третий насосы наполняют бассейн, через \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. За одну минуту первый насос наполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна, второй — \(\frac{1}{y}\), третий — \(\frac{1}{z}\): \[\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{36}, \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{48}, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{72}. \end{cases}\] Сложим все три уравнения системы: в левой части каждая из дробей \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{y}\) и \(\frac{1}{z}\) встретится дважды.
\(\frac{1}{36} + \frac{1}{48} + \frac{1}{72} = \frac{4 + 3 + 2}{144} = \frac{9}{144} = \frac{1}{16}\) — сумма правых частей (общий знаменатель 144). \[\begin{aligned} 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) &= \frac{1}{16}; \qquad | : 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{1}{32}. \end{aligned}\] За одну минуту три насоса вместе наполняют \(\frac{1}{32}\) бассейна, значит, при одновременной работе всех трёх насосов бассейн наполнится за 32 минуты.
Ответ: 32 минуты.
Первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 36 минут, второй и третий — за 48 минут, а первый и третий — за 72 минуты. За сколько минут наполнится бассейн при одновременной работе всех трёх насосов?
Дано:
\(t_{12} = 36\) мин — время наполнения бассейна первым и вторым насосами вместе
\(t_{23} = 48\) мин — вторым и третьим насосами вместе
\(t_{13} = 72\) мин — первым и третьим насосами вместе
Найти: \(t\) — время наполнения бассейна тремя насосами вместе.
Решение:
Обозначим время (в минутах), за которое первый, второй и третий насосы наполняют бассейн, через \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Тогда за одну минуту первый насос наполняет \(\frac{1}{x}\) бассейна, второй — \(\frac{1}{y}\) бассейна, а третий — \(\frac{1}{z}\) бассейна. При совместной работе производительности складываются, поэтому условие задачи можно записать в виде системы уравнений: \[\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{36}, \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{48}, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{72}. \end{cases}\] Сложим все три уравнения системы. В левой части каждая из дробей \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{y}\) и \(\frac{1}{z}\) встретится дважды, а сумма правых частей равна \(\frac{1}{36} + \frac{1}{48} + \frac{1}{72} = \frac{4 + 3 + 2}{144} = \frac{9}{144} = \frac{1}{16}\) (общий знаменатель 144). Получим уравнение и разделим обе его части на 2: \[\begin{aligned} 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) &= \frac{1}{16}; \qquad | : 2 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{1}{32}. \end{aligned}\] Значит, все три насоса вместе наполняют за одну минуту \(\frac{1}{32}\) бассейна, и при одновременной работе всех трёх насосов бассейн наполнится за 32 минуты.
Ответ: 32 минуты.
