Страница 158 номер 791, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\frac{7x-6}{x-9}+\frac{2x-18}{7x-6}=4{,}5\).
Дроби уравнения имеют смысл при \(x \neq 9\) и \(7x - 6 \neq 0\).
Пусть \(t = \frac{7x - 6}{x - 9}\). При указанных значениях \(x\) число \(t\) не равно нулю и \[\frac{2x - 18}{7x - 6} = \frac{2(x - 9)}{7x - 6} = 2 : \frac{7x - 6}{x - 9} = \frac{2}{t}.\] Уравнение принимает вид \(t + \frac{2}{t} = 4{,}5\); общий знаменатель — \(2t\): \[\begin{aligned} t + \frac{2}{t} - 4{,}5 &= 0; \\ \frac{2t^2 + 4 - 9t}{2t} &= 0; \\ \frac{2t^2 - 9t + 4}{2t} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49; \\ t_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = 0{,}5; \\ t_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = 4. \end{aligned}\] Ни одно из этих чисел не обращает знаменатель \(2t\) в нуль.
При \(t = 4\) уравнение \(\frac{7x - 6}{x - 9} = 4\) равносильно системе \[\begin{cases} 7x - 6 = 4(x - 9), \\ x - 9 \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} 7x - 6 &= 4x - 36; \\ 3x &= -30; \qquad | : 3 \\ x &= -10. \end{aligned}\] При \(x = -10\) знаменатель \(x - 9\) равен \(-10 - 9 = -19\), то есть не равен нулю.
При \(t = 0{,}5\) получаем уравнение \(\frac{7x - 6}{x - 9} = \frac{1}{2}\): \[\begin{aligned} 2(7x - 6) &= x - 9; \\ 14x - 12 &= x - 9; \\ 13x &= 3; \qquad | : 13 \\ x &= \frac{3}{13}. \end{aligned}\] Число \(\frac{3}{13}\) не равно 9, поэтому знаменатель \(x - 9\) в нуль не обращается.
Оба найденных числа удовлетворяют и условию \(7x - 6 \neq 0\): \(7 \cdot (-10) - 6 = -76\), \(7 \cdot \frac{3}{13} - 6 = -\frac{57}{13}\). Значит, \(-10\) и \(\frac{3}{13}\) — корни исходного уравнения.
Ответ: \(-10\); \(\frac{3}{13}\).
Решите уравнение \(\frac{7x-6}{x-9}+\frac{2x-18}{7x-6}=4{,}5\).
Обе дроби уравнения имеют смысл при \(x \neq 9\) и \(7x - 6 \neq 0\). Заметим, что \(2x - 18 = 2(x - 9)\). Обозначим выражение \(\frac{7x - 6}{x - 9}\) через \(t\). При указанных значениях \(x\) число \(t\) не равно нулю и \[\frac{2x - 18}{7x - 6} = \frac{2(x - 9)}{7x - 6} = 2 : \frac{7x - 6}{x - 9} = \frac{2}{t}.\] Тогда исходное уравнение принимает вид \(t + \frac{2}{t} = 4{,}5\). Перенесём число \(4{,}5\) в левую часть и приведём все слагаемые к общему знаменателю \(2t\): \[\begin{aligned} t + \frac{2}{t} - 4{,}5 &= 0; \\ \frac{2t^2 + 4 - 9t}{2t} &= 0; \\ \frac{2t^2 - 9t + 4}{2t} &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49; \\ t_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = 0{,}5; \\ t_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = 4. \end{aligned}\] Ни одно из этих чисел не обращает знаменатель \(2t\) в нуль.
При \(t = 4\) получаем уравнение \(\frac{7x - 6}{x - 9} = 4\), равносильное системе \[\begin{cases} 7x - 6 = 4(x - 9), \\ x - 9 \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: раскроем скобки, перенесём слагаемые и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} 7x - 6 &= 4x - 36; \\ 3x &= -30; \qquad | : 3 \\ x &= -10. \end{aligned}\] При \(x = -10\) знаменатель \(x - 9\) равен \(-10 - 9 = -19\), то есть не равен нулю.
При \(t = 0{,}5\) получаем уравнение \(\frac{7x - 6}{x - 9} = \frac{1}{2}\). Применим основное свойство пропорции, раскроем скобки, перенесём слагаемые и разделим обе части на 13: \[\begin{aligned} 2(7x - 6) &= x - 9; \\ 14x - 12 &= x - 9; \\ 13x &= 3; \qquad | : 13 \\ x &= \frac{3}{13}. \end{aligned}\] Число \(\frac{3}{13}\) не равно 9, поэтому знаменатель \(x - 9\) в нуль не обращается.
Оба найденных числа удовлетворяют и условию \(7x - 6 \neq 0\): \(7 \cdot (-10) - 6 = -76\), \(7 \cdot \frac{3}{13} - 6 = -\frac{57}{13}\). Значит, \(-10\) и \(\frac{3}{13}\) — корни исходного уравнения.
Ответ: \(-10\); \(\frac{3}{13}\).
