Страница 155 номер 753, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сократите дробь \(\frac{5\sqrt{x}-x\sqrt{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}\).
Дробь имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(\sqrt{x} - \sqrt{5} \neq 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся условиями \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 5\).
При \(x \geqslant 0\) верны равенства \(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\) и \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\), а \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{5x}\), поэтому \(5\sqrt{x} - x\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{5x} = \sqrt{5x} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{x})\).
Множители \(\sqrt{5} - \sqrt{x}\) и \(\sqrt{x} - \sqrt{5}\) противоположны, поэтому после сокращения на \(\sqrt{x} - \sqrt{5} \neq 0\) перед корнем появится знак «минус»: \[\frac{5\sqrt{x} - x\sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5x} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - \sqrt{5}} = -\sqrt{5x}.\]
Ответ: \(-\sqrt{5x}\).
Сократите дробь \(\frac{5\sqrt{x}-x\sqrt{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}\).
Дробь имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(\sqrt{x} - \sqrt{5} \neq 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся условиями \(x \geqslant 0\) и \(x \neq 5\).
При \(x \geqslant 0\) верны равенства \(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\) и \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\), а \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{5x}\). Поэтому в числителе можно вынести за скобки общий множитель \(\sqrt{5x}\): \(5\sqrt{x} - x\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{5x} = \sqrt{5x} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{x})\). Множители \(\sqrt{5} - \sqrt{x}\) и \(\sqrt{x} - \sqrt{5}\) противоположны, поэтому после сокращения на \(\sqrt{x} - \sqrt{5} \neq 0\) перед корнем появится знак «минус»: \[\frac{5\sqrt{x} - x\sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5x} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - \sqrt{5}} = -\sqrt{5x}.\]
Ответ: \(-\sqrt{5x}\).
