Страница 156 номер 769, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 36\) км — расстояние между турбазами
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения реки
\(t = 5\) ч — время на путь туда и обратно

Найти: \(v\) — скорость лодки в стоячей воде.

Решение:

Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде (в км/ч) через \(v\). Тогда время движения лодки между турбазами по течению составляет \(\frac{36}{v + 3}\) ч, а против течения — \(\frac{36}{v - 3}\) ч. По условию на весь путь туда и обратно лодка тратит 5 часов. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} &= 5; \\ \frac{36(v - 3) + 36(v + 3) - 5(v + 3)(v - 3)}{(v + 3)(v - 3)} &= 0; \\ \frac{-5v^2 + 72v + 45}{(v + 3)(v - 3)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{5v^2 - 72v - 45}{(v + 3)(v - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} 5v^2 - 72v - 45 &= 0; \\ D &= (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084; \\ v_1 &= \frac{72 - \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} = \frac{72 - 78}{10} = -0{,}6; \\ v_2 &= \frac{72 + \sqrt{6084}}{2 \cdot 5} = \frac{72 + 78}{10} = 15. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-0{,}6\) и \(15\), причём ни при одном из них знаменатель \((v + 3)(v - 3)\) не обращается в нуль. Однако лодка плывёт и против течения, а это возможно, только если её собственная скорость больше скорости течения, то есть \(v > 3\). Поэтому число \(-0{,}6\) не подходит, а число 15 подходит: \(15 > 3\).

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.