Страница 158 номер 794, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{a(x+3)+4}{x-7}=5\) имеет решение, удовлетворяющее условию \(x > 2\)?
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} a(x + 3) + 4 = 5(x - 7), \\ x \neq 7. \end{cases}\] Преобразуем уравнение системы: \[\begin{aligned} ax + 3a + 4 &= 5x - 35; \\ ax - 5x &= -35 - 3a - 4; \\ (a - 5)x &= -3a - 39. \end{aligned}\] При \(a = 5\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -54\) и корней не имеет, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
При \(a \neq 5\): \[\begin{aligned} (a - 5)x &= -3a - 39; \qquad | : (a - 5) \\ x &= \frac{-3a - 39}{a - 5} = \frac{3a + 39}{5 - a}. \end{aligned}\] Это число является решением исходного уравнения, если оно не равно 7. Знаменатель \(5 - a\) не равен нулю, поэтому уравнение \(\frac{3a + 39}{5 - a} = 7\) равносильно уравнению \(3a + 39 = 7(5 - a)\): \[\begin{aligned} 3a + 39 &= 35 - 7a; \\ 10a &= -4; \qquad | : 10 \\ a &= -0{,}4. \end{aligned}\] При \(a = -0{,}4\) уравнение системы имеет единственный корень 7, который не удовлетворяет условию \(x \neq 7\), поэтому исходное уравнение решений не имеет. При остальных значениях \(a\), отличных от 5, исходное уравнение имеет единственное решение \(x = \frac{3a + 39}{5 - a}\).
Это решение удовлетворяет условию \(x > 2\), если \[\begin{aligned} \frac{3a + 39}{5 - a} - 2 &> 0; \\ \frac{3a + 39 - 2(5 - a)}{5 - a} &> 0; \\ \frac{5a + 29}{5 - a} &> 0. \end{aligned}\] Дробь положительна тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
Если \(5 - a > 0\), то есть \(a < 5\), то должно выполняться неравенство \(5a + 29 > 0\), то есть \(5a > -29\), \(a > -5{,}8\). В этом случае \(-5{,}8 < a < 5\).
Если \(5 - a < 0\), то есть \(a > 5\), то должно выполняться неравенство \(5a + 29 < 0\), то есть \(a < -5{,}8\). Условия \(a > 5\) и \(a < -5{,}8\) одновременно не выполняются, поэтому в этом случае подходящих значений \(a\) нет.
Значит, решение исходного уравнения удовлетворяет условию \(x > 2\) при \(-5{,}8 < a < 5\), кроме значения \(a = -0{,}4\), при котором уравнение решений не имеет.
Ответ: при \(-5{,}8 < a < -0{,}4\); \(-0{,}4 < a < 5\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{a(x+3)+4}{x-7}=5\) имеет решение, удовлетворяющее условию \(x > 2\)?
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} a(x + 3) + 4 = 5(x - 7), \\ x \neq 7. \end{cases}\] Преобразуем уравнение системы: раскроем скобки, перенесём слагаемые, содержащие \(x\), в левую часть, а остальные — в правую, и вынесем \(x\) за скобки: \[\begin{aligned} ax + 3a + 4 &= 5x - 35; \\ ax - 5x &= -35 - 3a - 4; \\ (a - 5)x &= -3a - 39. \end{aligned}\] При \(a = 5\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -54\) и корней не имеет, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
При \(a \neq 5\) разделим обе части уравнения на число \(a - 5\), не равное нулю, а затем умножим числитель и знаменатель полученной дроби на \(-1\): \[\begin{aligned} (a - 5)x &= -3a - 39; \qquad | : (a - 5) \\ x &= \frac{-3a - 39}{a - 5} = \frac{3a + 39}{5 - a}. \end{aligned}\] Это число является решением исходного уравнения, если оно не равно 7. Найдём, при каком значении параметра \(a\) оно равно 7. Знаменатель \(5 - a\) не равен нулю, поэтому уравнение \(\frac{3a + 39}{5 - a} = 7\) равносильно уравнению \(3a + 39 = 7(5 - a)\). Раскроем скобки, перенесём слагаемые и разделим обе части на 10: \[\begin{aligned} 3a + 39 &= 35 - 7a; \\ 10a &= -4; \qquad | : 10 \\ a &= -0{,}4. \end{aligned}\] При \(a = -0{,}4\) уравнение системы имеет единственный корень 7, который не удовлетворяет условию \(x \neq 7\), поэтому исходное уравнение решений не имеет. При остальных значениях \(a\), отличных от 5, исходное уравнение имеет единственное решение \(x = \frac{3a + 39}{5 - a}\).
Найдём, при каких значениях \(a\) это решение удовлетворяет условию \(x > 2\). Перенесём число 2 в левую часть неравенства и приведём к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{3a + 39}{5 - a} - 2 &> 0; \\ \frac{3a + 39 - 2(5 - a)}{5 - a} &> 0; \\ \frac{5a + 29}{5 - a} &> 0. \end{aligned}\] Дробь положительна тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.
Если \(5 - a > 0\), то есть \(a < 5\), то должно выполняться неравенство \(5a + 29 > 0\), то есть \(5a > -29\), \(a > -5{,}8\). В этом случае получаем \(-5{,}8 < a < 5\).
Если \(5 - a < 0\), то есть \(a > 5\), то должно выполняться неравенство \(5a + 29 < 0\), то есть \(a < -5{,}8\). Условия \(a > 5\) и \(a < -5{,}8\) одновременно не выполняются, поэтому в этом случае подходящих значений \(a\) нет.
Значит, решение исходного уравнения удовлетворяет условию \(x > 2\) при \(-5{,}8 < a < 5\), кроме значения \(a = -0{,}4\), при котором уравнение решений не имеет.
Ответ: при \(-5{,}8 < a < -0{,}4\); \(-0{,}4 < a < 5\).
