Страница 156 номер 763, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Равенство является тождеством, если его части равны при всех допустимых значениях переменной; если при каком-то значении обе части определены и различны, равенство тождеством не является.
1) \[\frac{(x + 6)^2}{x + 6} = x + 6.\] Левая часть преобразована в правую, поэтому при всех допустимых значениях переменной (\(x \neq -6\)) части равны — равенство является тождеством. При \(x = -6\) левая часть не имеет смысла, поэтому это значение равенство не опровергает.
2) \[x + \frac{2}{9} = \frac{9x}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9x + 2}{9}.\] Части равны при любом значении \(x\) — равенство является тождеством.
3) \[\frac{x(x - 6)}{(x - 6)^2} = \frac{x}{x - 6}.\] Левая часть преобразована в правую — равенство является тождеством.
4) Общий знаменатель — \(6(x + 6)\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 1}{x + 6} - \frac{x}{6} = \frac{6(x - 1) - x(x + 6)}{6(x + 6)} = {} \\ &= \frac{6x - 6 - x^2 - 6x}{6(x + 6)} = \frac{-x^2 - 6}{6(x + 6)} = -\frac{x^2 + 6}{6(x + 6)}. \end{aligned}\] Левая часть преобразована в правую — равенство является тождеством.
5) \[\frac{(x - 6)^2}{x(x - 6)} = \frac{x - 6}{x}.\] В правой части стоит другое выражение — \(\frac{1}{x(x - 6)}\). При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{(1 - 6)^2}{1 \cdot (1 - 6)} = \frac{25}{-5} = -5\), а правая — \(\frac{1}{1 \cdot (1 - 6)} = -\frac{1}{5}\). Значения различны, следовательно, равенство не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(\frac{(x + 6)^2}{x + 6} = x + 6\), 2) \(x + \frac{2}{9} = \frac{9x + 2}{9}\), 3) \(\frac{x(x - 6)}{(x - 6)^2} = \frac{x}{x - 6}\) и 4) \(\frac{x - 1}{x + 6} - \frac{x}{6} = -\frac{x^2 + 6}{6(x + 6)}\).
Равенство является тождеством, если его части принимают равные значения при всех допустимых значениях переменной. Если найдётся значение переменной, при котором обе части определены и принимают различные значения, равенство тождеством не является.
1) Сократим левую часть на \(x + 6\): \[\frac{(x + 6)^2}{x + 6} = x + 6.\] Левая часть преобразована в правую, поэтому при всех допустимых значениях переменной (\(x \neq -6\)) части равны — равенство является тождеством. При \(x = -6\) левая часть не имеет смысла, поэтому это значение равенство не опровергает.
2) Приведём левую часть к знаменателю 9: \[x + \frac{2}{9} = \frac{9x}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9x + 2}{9}.\] Части равны при любом значении \(x\) — равенство является тождеством.
3) Сократим левую часть на \(x - 6\): \[\frac{x(x - 6)}{(x - 6)^2} = \frac{x}{x - 6}.\] Левая часть преобразована в правую — равенство является тождеством.
4) Выполним вычитание в левой части, общий знаменатель — \(6(x + 6)\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 1}{x + 6} - \frac{x}{6} = \frac{6(x - 1) - x(x + 6)}{6(x + 6)} = {} \\ &= \frac{6x - 6 - x^2 - 6x}{6(x + 6)} = \frac{-x^2 - 6}{6(x + 6)} = -\frac{x^2 + 6}{6(x + 6)}. \end{aligned}\] Левая часть преобразована в правую — равенство является тождеством.
5) Сократим левую часть на \(x - 6\): \[\frac{(x - 6)^2}{x(x - 6)} = \frac{x - 6}{x}.\] В правой части стоит другое выражение — \(\frac{1}{x(x - 6)}\). При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{(1 - 6)^2}{1 \cdot (1 - 6)} = \frac{25}{-5} = -5\), а правая — \(\frac{1}{1 \cdot (1 - 6)} = -\frac{1}{5}\). Значения различны, следовательно, равенство не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(\frac{(x + 6)^2}{x + 6} = x + 6\), 2) \(x + \frac{2}{9} = \frac{9x + 2}{9}\), 3) \(\frac{x(x - 6)}{(x - 6)^2} = \frac{x}{x - 6}\) и 4) \(\frac{x - 1}{x + 6} - \frac{x}{6} = -\frac{x^2 + 6}{6(x + 6)}\).
