Страница 158 номер 796, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 210\) км — расстояние между пунктами А и Б
\(63\) км/ч — скорость второго курьера
второй курьер выехал на \(1\) ч позже первого, догнал его и сразу поехал обратно
второй курьер вернулся в А, когда первый прибыл в Б

Найти: \(v\) — скорость первого курьера.

Решение:

Обозначим через \(t\) время (в часах), которое второй курьер ехал до встречи с первым. Обратный путь той же длины он проехал с той же скоростью, то есть тоже за \(t\) ч, и всего был в пути \(2t\) ч. Первый курьер выехал на 1 ч раньше второго, а прибыл в пункт Б в тот момент, когда второй вернулся в пункт А, поэтому весь путь в 210 км первый курьер проехал за \(2t + 1\) ч, и его скорость \(v = \frac{210}{2t + 1}\) км/ч.

К моменту встречи второй курьер проехал \(63t\) км, а первый был в пути \(t + 1\) ч и проехал \(\frac{210(t + 1)}{2t + 1}\) км. В момент встречи курьеры находились в одной точке, то есть проехали от пункта А одно и то же расстояние. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю \(2t + 1\): \[\begin{aligned} \frac{210(t + 1)}{2t + 1} &= 63t; \\ \frac{210(t + 1) - 63t(2t + 1)}{2t + 1} &= 0; \\ \frac{210t + 210 - 126t^2 - 63t}{2t + 1} &= 0; \\ \frac{-126t^2 + 147t + 210}{2t + 1} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} -126t^2 + 147t + 210 = 0, \\ 2t + 1 \neq 0. \end{cases}\] Разделим обе части уравнения системы на \(-21\) и решим получившееся квадратное уравнение: \[\begin{aligned} -126t^2 + 147t + 210 &= 0; \qquad | : (-21) \\ 6t^2 - 7t - 10 &= 0; \\ D &= (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10) = 49 + 240 = 289; \\ t_1 &= \frac{7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 17}{12} = -\frac{5}{6}; \\ t_2 &= \frac{7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 17}{12} = 2. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют условию \(2t + 1 \neq 0\): \(2 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) + 1 = -\frac{2}{3}\), \(2 \cdot 2 + 1 = 5\). Однако время может быть только положительным, поэтому число \(-\frac{5}{6}\) не подходит. Значит, второй курьер ехал до встречи 2 ч, а скорость первого курьера \(v = \frac{210}{2 \cdot 2 + 1} = 42\) (км/ч).

Проверка: за 2 ч второй курьер проехал \(63 \cdot 2 = 126\) (км), а первый к этому моменту был в пути \(2 + 1 = 3\) (ч) и проехал \(42 \cdot 3 = 126\) (км) — курьеры встретились. Второй курьер вернулся в пункт А через \(2 \cdot 2 = 4\) (ч) после своего выезда, то есть через \(4 + 1 = 5\) (ч) после выезда первого, а первый проехал 210 км за \(210 : 42 = 5\) (ч) — как и сказано в условии.

Таким образом, скорость первого курьера равна 42 км/ч.

Ответ: 42 км/ч.