Страница 157 номер 776, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\frac{6}{(x^2-8x)^2+6}+\frac{7}{(x-8)^2+1}+\frac{12}{(x^2-3x-40)^2+6}=10\).
\((x^2 - 8x)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x^2 - 8x)^2 + 6 \geqslant 6\), а значит, \(\dfrac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} \leqslant \dfrac{6}{6} = 1\).
\((x - 8)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x - 8)^2 + 1 \geqslant 1\), а значит, \(\dfrac{7}{(x - 8)^2 + 1} \leqslant \dfrac{7}{1} = 7\).
\((x^2 - 3x - 40)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x^2 - 3x - 40)^2 + 6 \geqslant 6\), а значит, \(\dfrac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} \leqslant \dfrac{12}{6} = 2\).
Таким образом, при любом значении \(x\) \[\begin{aligned} &\frac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} + \frac{7}{(x - 8)^2 + 1} + {} \\ &+ \frac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} \leqslant 1 + 7 + 2 = 10. \end{aligned}\] Равенство возможно тогда и только тогда, когда каждая дробь принимает своё наибольшее значение: \[\begin{cases} \dfrac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} = 1, \\ \dfrac{7}{(x - 8)^2 + 1} = 7, \\ \dfrac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} = 2. \end{cases}\] Каждое уравнение этой системы верно тогда и только тогда, когда квадрат в знаменателе дроби равен нулю: \[\begin{cases} (x^2 - 8x)^2 = 0, \\ (x - 8)^2 = 0, \\ (x^2 - 3x - 40)^2 = 0. \end{cases}\] Второе уравнение имеет единственный корень 8.
\(8^2 - 8 \cdot 8 = 0\) — число 8 является корнем первого уравнения.
\(8^2 - 3 \cdot 8 - 40 = 64 - 24 - 40 = 0\) — и третьего.
Следовательно, 8 — единственный общий корень всех трёх уравнений системы и корень исходного уравнения.
Ответ: \(8\).
Решите уравнение \(\frac{6}{(x^2-8x)^2+6}+\frac{7}{(x-8)^2+1}+\frac{12}{(x^2-3x-40)^2+6}=10\).
Оценим каждое слагаемое в левой части уравнения.
\((x^2 - 8x)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x^2 - 8x)^2 + 6 \geqslant 6\), а значит, \(\dfrac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} \leqslant \dfrac{6}{6} = 1\).
\((x - 8)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x - 8)^2 + 1 \geqslant 1\), а значит, \(\dfrac{7}{(x - 8)^2 + 1} \leqslant \dfrac{7}{1} = 7\).
\((x^2 - 3x - 40)^2 \geqslant 0\), поэтому \((x^2 - 3x - 40)^2 + 6 \geqslant 6\), а значит, \(\dfrac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} \leqslant \dfrac{12}{6} = 2\).
Таким образом, при любом значении \(x\) \[\begin{aligned} &\frac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} + \frac{7}{(x - 8)^2 + 1} + {} \\ &+ \frac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} \leqslant 1 + 7 + 2 = 10. \end{aligned}\] Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда каждая дробь принимает своё наибольшее значение. Запишем это условие в виде системы: \[\begin{cases} \dfrac{6}{(x^2 - 8x)^2 + 6} = 1, \\ \dfrac{7}{(x - 8)^2 + 1} = 7, \\ \dfrac{12}{(x^2 - 3x - 40)^2 + 6} = 2. \end{cases}\] Каждое уравнение этой системы верно тогда и только тогда, когда квадрат в знаменателе дроби равен нулю, поэтому система равносильна системе \[\begin{cases} (x^2 - 8x)^2 = 0, \\ (x - 8)^2 = 0, \\ (x^2 - 3x - 40)^2 = 0. \end{cases}\] Второе уравнение получившейся системы имеет единственный корень 8. Это число является корнем и остальных двух уравнений: \(8^2 - 8 \cdot 8 = 0\) и \(8^2 - 3 \cdot 8 - 40 = 64 - 24 - 40 = 0\). Следовательно, все три уравнения системы имеют единственный общий корень 8, который и является корнем исходного уравнения.
Ответ: \(8\).
