Страница 156 номер 771, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Будем преобразовывать исходную дробь снизу вверх. Выполним вычитание: \[3 - \frac{1}{6 - x^2} = \frac{3(6 - x^2) - 1}{6 - x^2} = \frac{17 - 3x^2}{6 - x^2}.\] Тогда \[\frac{3}{3 - \frac{1}{6 - x^2}} = 3 : \frac{17 - 3x^2}{6 - x^2} = \frac{3(6 - x^2)}{17 - 3x^2} = \frac{18 - 3x^2}{17 - 3x^2}.\] Продолжим преобразование знаменателя исходной дроби: \[\begin{aligned} &1 - \frac{3}{3 - \frac{1}{6 - x^2}} = 1 - \frac{18 - 3x^2}{17 - 3x^2} = {} \\ &= \frac{17 - 3x^2 - (18 - 3x^2)}{17 - 3x^2} = -\frac{1}{17 - 3x^2}. \end{aligned}\] Следовательно, \[\begin{aligned} &\frac{1}{1 - \frac{3}{3 - \frac{1}{6 - x^2}}} = 1 : \left(-\frac{1}{17 - 3x^2}\right) = {} \\ &= -(17 - 3x^2) = 3x^2 - 17. \end{aligned}\] При \(x = \frac{\sqrt{5}}{2}\) имеем \(x^2 = \frac{5}{4}\), поэтому значения выражений \(6 - x^2\) и \(17 - 3x^2\) равны \(6 - \frac{5}{4} = \frac{19}{4}\) и \(17 - 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{53}{4}\) — не нули. Значит, при этом значении переменной не обращается в нуль ни один из знаменателей \(6 - x^2\), \(3 - \frac{1}{6 - x^2} = \frac{17 - 3x^2}{6 - x^2}\) и \(1 - \frac{3}{3 - \frac{1}{6 - x^2}} = -\frac{1}{17 - 3x^2}\), и каждое выражение в промежуточных преобразованиях имеет смысл. Вычислим значение получившегося выражения: \[\begin{aligned} &3x^2 - 17 = 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - 17 = 3 \cdot \frac{5}{4} - 17 = {} \\ &= \frac{15}{4} - 17 = -\frac{53}{4} = -13{,}25. \end{aligned}\]

Ответ: \(-13{,}25\).