Страница 157 номер 777, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{x^2-x-12}{x+a}=0\) имеет два корня?
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - x - 12 = 0, \\ x + a \neq 0. \end{cases}\] Корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49; \\ x_1 &= \frac{1 - 7}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{1 + 7}{2} = 4. \end{aligned}\] Исходное уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда каждое из чисел \(-3\) и \(4\) удовлетворяет условию \(x + a \neq 0\), то есть \(-3 + a \neq 0\) и \(4 + a \neq 0\), откуда \(a \neq 3\) и \(a \neq -4\). При \(a = 3\) знаменатель \(x + 3\) обращается в нуль при \(x = -3\), а при \(a = -4\) знаменатель \(x - 4\) — при \(x = 4\): в этих случаях уравнение имеет только один корень.
Следовательно, \(a\) может быть любым числом, кроме \(-4\) и \(3\).
Ответ: \(a\) — любое число, кроме \(-4\) и \(3\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\frac{x^2-x-12}{x+a}=0\) имеет два корня?
Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - x - 12 = 0, \\ x + a \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение \(x^2 - x - 12 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49; \\ x_1 &= \frac{1 - 7}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{1 + 7}{2} = 4. \end{aligned}\] Исходное уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда каждое из чисел \(-3\) и \(4\) удовлетворяет условию \(x + a \neq 0\), то есть \(-3 + a \neq 0\) и \(4 + a \neq 0\). Отсюда \(a \neq 3\) и \(a \neq -4\). При \(a = 3\) знаменатель \(x + 3\) обращается в нуль при \(x = -3\), а при \(a = -4\) знаменатель \(x - 4\) обращается в нуль при \(x = 4\) — в этих случаях уравнение имеет только один корень. Следовательно, \(a\) может быть любым числом, кроме \(-4\) и \(3\).
Ответ: \(a\) — любое число, кроме \(-4\) и \(3\).
