Страница 156 номер 765, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\frac{5x+6}{7x+8} = \frac{9}{10}\); б) \(\frac{y-1}{(y-1)(y-2)} = y-2\).
а) \[\begin{aligned} 10(5x + 6) &= 9(7x + 8); \\ 50x + 60 &= 63x + 72; \\ 50x - 63x &= 72 - 60; \\ -13x &= 12; \qquad | : (-13) \\ x &= -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] При \(x = -\frac{12}{13}\) знаменатель \(7x + 8\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + 8 = -\frac{84}{13} + \frac{104}{13} = \frac{20}{13}\) — не нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень \(-\frac{12}{13}\).
б) Общий знаменатель — \((y - 1)(y - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{y - 1}{(y - 1)(y - 2)} - (y - 2) &= 0; \\ \frac{y - 1 - (y - 1)(y - 2)^2}{(y - 1)(y - 2)} &= 0; \\ \frac{(y - 1)\left(1 - (y - 2)^2\right)}{(y - 1)(y - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Разложим \(1 - (y - 2)^2\) на множители: \[1 - (y - 2)^2 = (1 - y + 2)(1 + y - 2) = (3 - y)(y - 1).\] Значит, уравнение принимает вид \[\frac{(y - 1)^2(3 - y)}{(y - 1)(y - 2)} = 0.\] Корни числителя — числа 1 и 3. При \(y = 1\) знаменатель \((y - 1)(y - 2)\) обращается в нуль, значит, 1 не является корнем уравнения. При \(y = 3\) знаменатель равен \((3 - 1)(3 - 2) = 2\) — не нуль, значит, исходное уравнение имеет единственный корень 3.
Ответ: а) \(-\frac{12}{13}\); б) \(3\).
Решите уравнение: а) \(\frac{5x+6}{7x+8} = \frac{9}{10}\); б) \(\frac{y-1}{(y-1)(y-2)} = y-2\).
а) Применим основное свойство пропорции и решим уравнение \(10(5x + 6) = 9(7x + 8)\): раскроем скобки, перенесём слагаемые и разделим обе части на \(-13\): \[\begin{aligned} 10(5x + 6) &= 9(7x + 8); \\ 50x + 60 &= 63x + 72; \\ 50x - 63x &= 72 - 60; \\ -13x &= 12; \qquad | : (-13) \\ x &= -\frac{12}{13}. \end{aligned}\] При \(x = -\frac{12}{13}\) знаменатель \(7x + 8\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + 8 = -\frac{84}{13} + \frac{104}{13} = \frac{20}{13}\) — не нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень \(-\frac{12}{13}\).
б) Перенесём выражение \(y - 2\) в левую часть уравнения и приведём к общему знаменателю \((y - 1)(y - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{y - 1}{(y - 1)(y - 2)} - (y - 2) &= 0; \\ \frac{y - 1 - (y - 1)(y - 2)^2}{(y - 1)(y - 2)} &= 0; \\ \frac{(y - 1)\left(1 - (y - 2)^2\right)}{(y - 1)(y - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Разложим выражение \(1 - (y - 2)^2\) на множители по формуле разности квадратов: \[1 - (y - 2)^2 = (1 - y + 2)(1 + y - 2) = (3 - y)(y - 1).\] Значит, уравнение принимает вид \[\frac{(y - 1)^2(3 - y)}{(y - 1)(y - 2)} = 0.\] Корни числителя — числа 1 и 3. При \(y = 1\) знаменатель \((y - 1)(y - 2)\) обращается в нуль, значит, 1 не является корнем уравнения. При \(y = 3\) знаменатель равен \((3 - 1)(3 - 2) = 2\) — не нуль, значит, исходное уравнение имеет единственный корень 3.
Ответ: а) \(-\frac{12}{13}\); б) \(3\).
