Страница 157 номер 778, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Разложим числитель на множители способом группировки: \[\begin{aligned} &x^2 - (5 + 2a)x + 10a = x^2 - 5x - 2ax + 10a = {} \\ &= x(x - 5) - 2a(x - 5) = (x - 5)(x - 2a). \end{aligned}\] Числа \(-2\) и \(6\) в сумме дают 4, а их произведение равно \(-12\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями трёхчлена \(x^2 - 4x - 12\) в знаменателе. Значит, \(x^2 - 4x - 12 = (x + 2)(x - 6)\), и исходное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (x - 5)(x - 2a) = 0, \\ (x + 2)(x - 6) \neq 0. \end{cases}\] Корни числителя — числа 5 и \(2a\), корни знаменателя — числа \(-2\) и 6.

Число 5 не является корнем знаменателя, поэтому при любом значении \(a\) оно является корнем уравнения. Число \(2a\) является корнем уравнения, если оно не равно ни \(-2\), ни \(6\), то есть при \(a \neq -1\) и \(a \neq 3\). Особые случаи:

- при \(a = -1\) число \(2a = -2\) — корень знаменателя, и уравнение имеет единственный корень 5;
- при \(a = 3\) число \(2a = 6\) — корень знаменателя, и уравнение имеет единственный корень 5;
- при \(a = 2{,}5\) число \(2a = 5\), корни числителя совпадают, и уравнение имеет единственный корень 5.

При всех остальных значениях \(a\) уравнение имеет два различных корня: \(2a\) и 5.

Ответ: \(x = 5\) при \(a = -1\), \(a = 2{,}5\) и \(a = 3\); \(x = 2a\) и \(x = 5\) при всех остальных значениях \(a\).