Страница 156 номер 762, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите совокупность: а) \(\left[\begin{array}{l} 1-2x>0 \\ 6x \le 9; \end{array}\right.\) б) \(\left[\begin{array}{l} 2x-1<-9 \\ 3x+2 \ge -1. \end{array}\right.\)
а) Первое неравенство (при делении на отрицательное число \(-2\) знак неравенства меняется на противоположный): \[\begin{aligned} 1 - 2x &> 0; \\ -2x &> -1; \qquad | : (-2) \\ x &< 0{,}5. \end{aligned}\] Второе неравенство: \[\begin{aligned} 6x &\leqslant 9; \qquad | : 6 \\ x &\leqslant 1{,}5. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — лучи \((-\infty; 0{,}5)\) и \((-\infty; 1{,}5]\):
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Каждое число луча \((-\infty; 0{,}5)\) меньше \(1{,}5\): если \(x < 0{,}5\) и \(0{,}5 < 1{,}5\), то \(x < 1{,}5\). Значит, луч \((-\infty; 0{,}5)\) целиком содержится в луче \((-\infty; 1{,}5]\), и объединение лучей — луч \((-\infty; 1{,}5]\). Число \(1{,}5\) в него входит, так как оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \leqslant 1{,}5\).
б) Первое неравенство: \[\begin{aligned} 2x - 1 &< -9; \\ 2x &< -8; \qquad | : 2 \\ x &< -4. \end{aligned}\] Второе неравенство: \[\begin{aligned} 3x + 2 &\geqslant -1; \\ 3x &\geqslant -3; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant -1. \end{aligned}\] Множества решений неравенств — лучи \((-\infty; -4)\) и \([-1; +\infty)\):
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей, то есть множество \((-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)\). Число \(-4\) в него не входит: оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x < -4\), ни неравенству \(x \geqslant -1\). Число \(-1\) входит, так как удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \geqslant -1\). Числа между \(-4\) и \(-1\) не удовлетворяют ни одному из неравенств.
Ответ: а) \((-\infty; 1{,}5]\); б) \((-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)\).
Решите совокупность: а) \(\left[\begin{array}{l} 1-2x>0 \\ 6x \le 9; \end{array}\right.\) б) \(\left[\begin{array}{l} 2x-1<-9 \\ 3x+2 \ge -1. \end{array}\right.\)
а) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое 1 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на отрицательное число \(-2\), поменяв знак неравенства на противоположный: \[\begin{aligned} 1 - 2x &> 0; \\ -2x &> -1; \qquad | : (-2) \\ x &< 0{,}5. \end{aligned}\] Решим второе неравенство, разделив обе его части на положительное число 6: \[\begin{aligned} 6x &\leqslant 9; \qquad | : 6 \\ x &\leqslant 1{,}5. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-\infty; 0{,}5)\) и \((-\infty; 1{,}5]\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей. Оба луча направлены влево. Каждое число луча \((-\infty; 0{,}5)\) меньше \(1{,}5\): если \(x < 0{,}5\) и \(0{,}5 < 1{,}5\), то \(x < 1{,}5\). Значит, луч \((-\infty; 0{,}5)\) целиком содержится в луче \((-\infty; 1{,}5]\), и объединение лучей — луч \((-\infty; 1{,}5]\). Число \(1{,}5\) в него входит, так как оно удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \leqslant 1{,}5\).
б) Решим первое неравенство: перенесём слагаемое \(-1\) в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 2: \[\begin{aligned} 2x - 1 &< -9; \\ 2x &< -8; \qquad | : 2 \\ x &< -4. \end{aligned}\] Решим второе неравенство: перенесём слагаемое 2 в правую часть с противоположным знаком и разделим обе части на положительное число 3: \[\begin{aligned} 3x + 2 &\geqslant -1; \\ 3x &\geqslant -3; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant -1. \end{aligned}\] Изобразим лучи \((-\infty; -4)\) и \([-1; +\infty)\) на одной числовой прямой:
Множеством решений совокупности является объединение этих лучей, то есть множество \((-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)\). Число \(-4\) в него не входит: оно не удовлетворяет ни строгому неравенству \(x < -4\), ни неравенству \(x \geqslant -1\). Число \(-1\) входит, так как удовлетворяет нестрогому неравенству \(x \geqslant -1\). Числа между \(-4\) и \(-1\) не удовлетворяют ни одному из неравенств.
Ответ: а) \((-\infty; 1{,}5]\); б) \((-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)\).
