Страница 158 номер 793, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\left(2-\frac{9x+12}{x^2+2x+2}\right)^2+\left(2+\frac{18x+24}{2x^2-5x-8}\right)^2=8\).
Знаменатель \(x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1\) положителен при любом \(x\).
Выражение в первой скобке: \[\begin{aligned} &2 - \frac{9x + 12}{x^2 + 2x + 2} = \frac{2x^2 + 4x + 4 - 9x - 12}{x^2 + 2x + 2} = {} \\ &= \frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2}. \end{aligned}\] Выражение во второй скобке: \[\begin{aligned} &2 + \frac{18x + 24}{2x^2 - 5x - 8} = \frac{4x^2 - 10x - 16 + 18x + 24}{2x^2 - 5x - 8} = {} \\ &= \frac{4x^2 + 8x + 8}{2x^2 - 5x - 8} = \frac{4(x^2 + 2x + 2)}{2x^2 - 5x - 8}. \end{aligned}\] Пусть \(t = \frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2}\). Вторая дробь исходного уравнения имеет смысл только при \(2x^2 - 5x - 8 \neq 0\), поэтому \(t \neq 0\), и выражение во второй скобке равно \(4 : \frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = \frac{4}{t}\). Уравнение принимает вид \(t^2 + \left(\frac{4}{t}\right)^2 = 8\), то есть \(t^2 + \frac{16}{t^2} = 8\); общий знаменатель — \(t^2\): \[\begin{aligned} t^2 + \frac{16}{t^2} - 8 &= 0; \\ \frac{t^4 - 8t^2 + 16}{t^2} &= 0; \\ \frac{(t^2 - 4)^2}{t^2} &= 0. \end{aligned}\] Числитель равен нулю, когда \(t^2 - 4 = 0\), то есть \(t^2 = 4\): \(t = -2\) или \(t = 2\). Ни одно из этих чисел не обращает знаменатель \(t^2\) в нуль.
При \(t = 2\) получаем уравнение \(\frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = 2\). Знаменатель \(x^2 + 2x + 2\) не обращается в нуль ни при каком \(x\), поэтому это уравнение равносильно уравнению \(2x^2 - 5x - 8 = 2(x^2 + 2x + 2)\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 5x - 8 &= 2x^2 + 4x + 4; \\ -9x &= 12; \qquad | : (-9) \\ x &= -\frac{4}{3}. \end{aligned}\] При \(t = -2\) получаем уравнение \(\frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = -2\), которое по той же причине равносильно уравнению \(2x^2 - 5x - 8 = -2(x^2 + 2x + 2)\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 5x - 8 &= -2x^2 - 4x - 4; \\ 4x^2 - x - 4 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 1 + 64 = 65; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}. \end{aligned}\] При всех найденных значениях \(x\) выражение \(2x^2 - 5x - 8\) равно \(2(x^2 + 2x + 2)\) или \(-2(x^2 + 2x + 2)\), то есть не равно нулю: знаменатель второй дроби исходного уравнения в нуль не обращается. Значит, все три числа — корни исходного уравнения.
Порядок корней: так как \(64 < 65 < 81\), то \(8 < \sqrt{65} < 9\), поэтому \(\frac{1 - \sqrt{65}}{8} > \frac{1 - 9}{8} = -1 > -\frac{4}{3}\).
Ответ: \(-\frac{4}{3}\); \(\frac{1 - \sqrt{65}}{8}\); \(\frac{1 + \sqrt{65}}{8}\).
Решите уравнение \(\left(2-\frac{9x+12}{x^2+2x+2}\right)^2+\left(2+\frac{18x+24}{2x^2-5x-8}\right)^2=8\).
Знаменатель \(x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1\) положителен при любом \(x\). Преобразуем выражение в первой скобке: \[\begin{aligned} &2 - \frac{9x + 12}{x^2 + 2x + 2} = \frac{2x^2 + 4x + 4 - 9x - 12}{x^2 + 2x + 2} = {} \\ &= \frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2}. \end{aligned}\] Преобразуем выражение во второй скобке и разложим числитель полученной дроби на множители: \[\begin{aligned} &2 + \frac{18x + 24}{2x^2 - 5x - 8} = \frac{4x^2 - 10x - 16 + 18x + 24}{2x^2 - 5x - 8} = {} \\ &= \frac{4x^2 + 8x + 8}{2x^2 - 5x - 8} = \frac{4(x^2 + 2x + 2)}{2x^2 - 5x - 8}. \end{aligned}\] Обозначим выражение \(\frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2}\) через \(t\). Вторая дробь исходного уравнения имеет смысл только при \(2x^2 - 5x - 8 \neq 0\), поэтому \(t \neq 0\), и выражение во второй скобке равно \(4 : \frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = \frac{4}{t}\). Тогда исходное уравнение принимает вид \(t^2 + \left(\frac{4}{t}\right)^2 = 8\), то есть \(t^2 + \frac{16}{t^2} = 8\). Перенесём число 8 в левую часть и приведём все слагаемые к общему знаменателю \(t^2\); в числителе получится квадрат разности: \[\begin{aligned} t^2 + \frac{16}{t^2} - 8 &= 0; \\ \frac{t^4 - 8t^2 + 16}{t^2} &= 0; \\ \frac{(t^2 - 4)^2}{t^2} &= 0. \end{aligned}\] Числитель равен нулю, когда \(t^2 - 4 = 0\), то есть \(t^2 = 4\): \(t = -2\) или \(t = 2\). Ни одно из этих чисел не обращает знаменатель \(t^2\) в нуль.
При \(t = 2\) получаем уравнение \(\frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = 2\). Знаменатель \(x^2 + 2x + 2\) не обращается в нуль ни при каком \(x\), поэтому это уравнение равносильно уравнению \(2x^2 - 5x - 8 = 2(x^2 + 2x + 2)\). Раскроем скобки, перенесём слагаемые и разделим обе части на \(-9\): \[\begin{aligned} 2x^2 - 5x - 8 &= 2x^2 + 4x + 4; \\ -9x &= 12; \qquad | : (-9) \\ x &= -\frac{4}{3}. \end{aligned}\] При \(t = -2\) получаем уравнение \(\frac{2x^2 - 5x - 8}{x^2 + 2x + 2} = -2\), которое по той же причине равносильно уравнению \(2x^2 - 5x - 8 = -2(x^2 + 2x + 2)\). Раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть и решим получившееся квадратное уравнение: \[\begin{aligned} 2x^2 - 5x - 8 &= -2x^2 - 4x - 4; \\ 4x^2 - x - 4 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 1 + 64 = 65; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{65}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}. \end{aligned}\] При всех найденных значениях \(x\) выражение \(2x^2 - 5x - 8\) равно \(2(x^2 + 2x + 2)\) или \(-2(x^2 + 2x + 2)\), то есть не равно нулю: знаменатель второй дроби исходного уравнения в нуль не обращается. Значит, все три числа — корни исходного уравнения.
Расположим корни в порядке возрастания. Так как \(64 < 65 < 81\), то \(8 < \sqrt{65} < 9\), поэтому \(\frac{1 - \sqrt{65}}{8} > \frac{1 - 9}{8} = -1 > -\frac{4}{3}\).
Ответ: \(-\frac{4}{3}\); \(\frac{1 - \sqrt{65}}{8}\); \(\frac{1 + \sqrt{65}}{8}\).
