Страница 157 номер 779, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первая труба наполняет бассейн водой на 12 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот же бассейн за 8 минут. За сколько минут наполнит этот бассейн одна вторая труба?
Дано:
\(t + 12\) мин — время наполнения бассейна первой трубой (\(t\) мин — второй трубой)
\(t_{\text{общ}} = 8\) мин — время наполнения бассейна двумя трубами вместе
Найти: \(t\) — время, за которое наполнит бассейн одна вторая труба.
Решение:
Пусть вторая труба наполняет бассейн за \(t\) минут, тогда первая — за \(t + 12\) минут; объём бассейна — 1. Производительность первой трубы — \(\frac{1}{t + 12}\) бассейна в минуту, второй — \(\frac{1}{t}\); вместе трубы наполняют бассейн за 8 минут: \[\begin{aligned} 8\left(\frac{1}{t + 12} + \frac{1}{t}\right) &= 1; \\ \frac{8t + 8(t + 12) - t(t + 12)}{t(t + 12)} &= 0; \\ \frac{-t^2 + 4t + 96}{t(t + 12)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{t^2 - 4t - 96}{t(t + 12)} &= 0. \end{aligned}\] Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} t^2 - 4t - 96 = 0, \\ t(t + 12) \neq 0. \end{cases}\] Корни уравнения \(t^2 - 4t - 96 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400; \\ t_1 &= \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = -8; \\ t_2 &= \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(t(t + 12) \neq 0\), но время может быть только положительным, поэтому число \(-8\) не подходит.
Таким образом, одна вторая труба наполняет бассейн за 12 минут.
Ответ: 12 минут.
Первая труба наполняет бассейн водой на 12 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот же бассейн за 8 минут. За сколько минут наполнит этот бассейн одна вторая труба?
Дано:
\(t + 12\) мин — время наполнения бассейна первой трубой (\(t\) мин — второй трубой)
\(t_{\text{общ}} = 8\) мин — время наполнения бассейна двумя трубами вместе
Найти: \(t\) — время, за которое наполнит бассейн одна вторая труба.
Решение:
Пусть вторая труба наполняет бассейн за \(t\) минут, тогда первая труба наполняет его за \(t + 12\) минут. Примем объём бассейна за 1. Тогда производительность первой трубы равна \(\frac{1}{t + 12}\) бассейна в минуту, а второй — \(\frac{1}{t}\) бассейна в минуту. Производительность при совместной работе равна сумме производительностей, и обе трубы вместе наполняют бассейн за 8 минут. Составим уравнение, перенесём 1 в левую часть, приведём к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} 8\left(\frac{1}{t + 12} + \frac{1}{t}\right) &= 1; \\ \frac{8t + 8(t + 12) - t(t + 12)}{t(t + 12)} &= 0; \\ \frac{-t^2 + 4t + 96}{t(t + 12)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{t^2 - 4t - 96}{t(t + 12)} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} t^2 - 4t - 96 = 0, \\ t(t + 12) \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение \(t^2 - 4t - 96 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400; \\ t_1 &= \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = -8; \\ t_2 &= \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12. \end{aligned}\] Оба этих числа удовлетворяют неравенству \(t(t + 12) \neq 0\). Однако время может быть только положительным, поэтому число \(-8\) не подходит.
Таким образом, одна вторая труба наполняет бассейн за 12 минут.
Ответ: 12 минут.
