Страница 157 номер 785, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\frac{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{25}}{\frac{a}{20}+\frac{b}{50}}\) при \(a=-\frac{3}{5}\), \(b=\frac{1}{2}\).
При \(a = -\frac{3}{5}\) и \(b = \frac{1}{2}\) выражение имеет смысл: знаменатели \(4\), \(25\), \(20\) и \(50\) отличны от нуля, а знаменатель всей дроби равен \(-\frac{3}{5} : 20 + \frac{1}{2} : 50 = -\frac{3}{100} + \frac{1}{100} = -\frac{1}{50}\), то есть тоже не равен нулю.
Числитель и знаменатель дроби умножим на 100 (общий знаменатель дробей \(\frac{a^2}{4}\), \(\frac{b^2}{25}\), \(\frac{a}{20}\) и \(\frac{b}{50}\)): \[\frac{\frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{25}}{\frac{a}{20} + \frac{b}{50}} = \frac{25a^2 - 4b^2}{5a + 2b} = \frac{(5a - 2b)(5a + 2b)}{5a + 2b} = 5a - 2b.\] При \(a = -\frac{3}{5}\) и \(b = \frac{1}{2}\): \[5a - 2b = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - 2 \cdot \frac{1}{2} = -3 - 1 = -4.\]
Ответ: \(-4\).
Найдите значение выражения \(\frac{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{25}}{\frac{a}{20}+\frac{b}{50}}\) при \(a=-\frac{3}{5}\), \(b=\frac{1}{2}\).
Заметим, что при \(a = -\frac{3}{5}\) и \(b = \frac{1}{2}\) это выражение имеет смысл: знаменатели \(4\), \(25\), \(20\) и \(50\) — числа, отличные от нуля, а знаменатель всей дроби равен \(-\frac{3}{5} : 20 + \frac{1}{2} : 50 = -\frac{3}{100} + \frac{1}{100} = -\frac{1}{50}\), то есть тоже не равен нулю.
Преобразуем выражение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 100 (это общий знаменатель дробей \(\frac{a^2}{4}\), \(\frac{b^2}{25}\), \(\frac{a}{20}\) и \(\frac{b}{50}\)), разложим получившийся числитель на множители по формуле разности квадратов и сократим дробь на \(5a + 2b\): \[\frac{\frac{a^2}{4} - \frac{b^2}{25}}{\frac{a}{20} + \frac{b}{50}} = \frac{25a^2 - 4b^2}{5a + 2b} = \frac{(5a - 2b)(5a + 2b)}{5a + 2b} = 5a - 2b.\] Найдём значение получившегося выражения при \(a = -\frac{3}{5}\) и \(b = \frac{1}{2}\): \[5a - 2b = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - 2 \cdot \frac{1}{2} = -3 - 1 = -4.\]
Ответ: \(-4\).
