Страница 155 номер 750, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение: \(\frac{a+8\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a}+40}\).
Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\): подкоренные выражения неотрицательны, корень \(\sqrt{b}\) стоит в знаменателе, а знаменатель \(5\sqrt{a} + 40 \geqslant 40\) в нуль не обращается.
При \(a \geqslant 0\) верно равенство \(a = (\sqrt{a})^2\), поэтому \(a + 8\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 8)\); кроме того, \(5\sqrt{a} + 40 = 5(\sqrt{a} + 8)\) и \(b = (\sqrt{b})^2\).
Сократим произведение на множитель \(\sqrt{b}(\sqrt{a} + 8)\), не равный нулю: \[\begin{aligned} &\frac{a + 8\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a} + 40} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 8) \cdot (\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b} \cdot 5(\sqrt{a} + 8)} = {} \\ &= \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{10} = \frac{\sqrt{ab}}{10}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{ab}}{10}\).
Выполните умножение: \(\frac{a+8\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a}+40}\).
Выражение имеет смысл при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\): подкоренные выражения неотрицательны, корень \(\sqrt{b}\) стоит в знаменателе, а знаменатель \(5\sqrt{a} + 40 \geqslant 40\) в нуль не обращается.
При \(a \geqslant 0\) верно равенство \(a = (\sqrt{a})^2\), поэтому \(a + 8\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 8)\); кроме того, \(5\sqrt{a} + 40 = 5(\sqrt{a} + 8)\) и \(b = (\sqrt{b})^2\). Перемножим дроби и сократим произведение на множитель \(\sqrt{b}(\sqrt{a} + 8)\), не равный нулю; произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения: \[\begin{aligned} &\frac{a + 8\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{5\sqrt{a} + 40} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 8) \cdot (\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b} \cdot 5(\sqrt{a} + 8)} = {} \\ &= \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{10} = \frac{\sqrt{ab}}{10}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{\sqrt{ab}}{10}\).
