Страница 157 номер 782, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(t\) ч — время наполнения бассейна через первую трубу
\((t + 1)\) ч — время слива воды через вторую трубу
\(30\) ч — время наполнения при двух открытых трубах

Найти: \(t\).

Решение:

Пусть через первую трубу пустой бассейн наполняется за \(t\) ч, тогда через вторую трубу вода из полного бассейна сливается за \(t + 1\) ч. Примем объём бассейна за 1. За 1 ч первая труба наливает \(\frac{1}{t}\) бассейна, а вторая сливает \(\frac{1}{t + 1}\) бассейна, поэтому при двух открытых трубах за 1 ч наполняется \(\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}\) бассейна. По условию при двух открытых трубах бассейн наполняется за 30 ч, то есть за 1 ч — на \(\frac{1}{30}\). Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю \(30t(t + 1)\): \[\begin{aligned} \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} &= \frac{1}{30}; \\ \frac{30(t + 1) - 30t - t(t + 1)}{30t(t + 1)} &= 0; \\ \frac{-t^2 - t + 30}{30t(t + 1)} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} t^2 + t - 30 = 0, \\ 30t(t + 1) \neq 0. \end{cases}\] Решим квадратное уравнение \(t^2 + t - 30 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121; \\ t_1 &= \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = -6; \\ t_2 &= \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = 5. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(30t(t + 1) \neq 0\). Однако время может быть только положительным, поэтому число \(-6\) не подходит.

Проверка: за 1 ч первая труба наливает \(\frac{1}{5}\) бассейна, а вторая сливает \(\frac{1}{6}\) бассейна; при двух открытых трубах за 1 ч наполняется \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30}\) бассейна, то есть весь бассейн — за 30 ч.

Таким образом, через первую трубу пустой бассейн можно наполнить за 5 ч.

Ответ: за 5 часов.