Страница 155 номер 747, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сократите дробь: а) \(\frac{b\sqrt{10}}{\sqrt{-2b}}\); б) \(\frac{b\sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}}\).
а) Корень \(\sqrt{-2b}\) стоит в знаменателе, поэтому дробь имеет смысл при \(-2b > 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Подкоренные выражения неотрицательны (\(10b^2 \geqslant 0\), \(-2b > 0\)), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{10}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{10b^2}}{\sqrt{-2b}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{10b^2}{-2b}} = -\sqrt{-5b}. \end{aligned}\]
б) Условия, при которых дробь имеет смысл (корень \(\sqrt{ab}\) стоит в знаменателе, поэтому \(ab > 0\)): \[\begin{cases} -51a \geqslant 0, \\ ab > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(a \leqslant 0\). Из второго \(ab \neq 0\), поэтому \(a \neq 0\), то есть \(a < 0\); произведение \(ab\) положительно, только если множители одного знака, поэтому \(b < 0\). Следовательно, дробь определена при \(a < 0\) и \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Подкоренные выражения неотрицательны (\(-51ab^2 \geqslant 0\), \(ab > 0\)), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}} = -\frac{\sqrt{-51ab^2}}{\sqrt{ab}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{-51ab^2}{ab}} = -\sqrt{-51b}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-5b}\); б) \(-\sqrt{-51b}\).
Сократите дробь: а) \(\frac{b\sqrt{10}}{\sqrt{-2b}}\); б) \(\frac{b\sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}}\).
а) Корень \(\sqrt{-2b}\) стоит в знаменателе, поэтому дробь имеет смысл при \(-2b > 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Перемножим корни (подкоренные выражения неотрицательны), частное корней запишем как корень из частного (\(10b^2 \geqslant 0\), \(-2b > 0\)) и сократим дробь под корнем на \(-2b\): \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{10}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{10b^2}}{\sqrt{-2b}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{10b^2}{-2b}} = -\sqrt{-5b}. \end{aligned}\]
б) Запишем условия, при которых дробь имеет смысл, в виде системы (корень \(\sqrt{ab}\) стоит в знаменателе, поэтому \(ab > 0\)): \[\begin{cases} -51a \geqslant 0, \\ ab > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(a \leqslant 0\). Из второго \(ab \neq 0\), поэтому \(a \neq 0\), то есть \(a < 0\); произведение \(ab\) положительно, только если множители одного знака, поэтому \(b < 0\). Следовательно, дробь определена при \(a < 0\) и \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Перемножим корни (подкоренные выражения неотрицательны), частное корней запишем как корень из частного (\(-51ab^2 \geqslant 0\), \(ab > 0\)) и сократим дробь под корнем на \(ab\): \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{-51a}}{\sqrt{ab}} = -\frac{\sqrt{-51ab^2}}{\sqrt{ab}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{-51ab^2}{ab}} = -\sqrt{-51b}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-5b}\); б) \(-\sqrt{-51b}\).
