Страница 155 номер 745, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменных дробь \(\frac{\sqrt{200ab}}{\sqrt{100a}}\) имеет смысл? Сократите эту дробь.
Дробь имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю; корень \(\sqrt{100a}\) стоит в знаменателе, поэтому его подкоренное выражение должно быть положительным: \[\begin{cases} 200ab \geqslant 0, \\ 100a > 0. \end{cases}\] Из второго неравенства \(a > 0\). Тогда \(200a > 0\), и произведение \(200ab = 200a \cdot b\) неотрицательно только при \(b \geqslant 0\). Следовательно, дробь определена при \(a > 0\) и \(b \geqslant 0\).
Так как \(200ab \geqslant 0\) и \(100a > 0\), то \[\frac{\sqrt{200ab}}{\sqrt{100a}} = \sqrt{\frac{200ab}{100a}} = \sqrt{2b}.\]
Ответ: при \(a > 0\) и \(b \geqslant 0\); \(\sqrt{2b}\).
При каких значениях переменных дробь \(\frac{\sqrt{200ab}}{\sqrt{100a}}\) имеет смысл? Сократите эту дробь.
Дробь имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель не равен нулю; корень \(\sqrt{100a}\) стоит в знаменателе, поэтому его подкоренное выражение должно быть положительным. Запишем эти условия в виде системы: \[\begin{cases} 200ab \geqslant 0, \\ 100a > 0. \end{cases}\] Из второго неравенства \(a > 0\). Тогда \(200a > 0\), и произведение \(200ab = 200a \cdot b\) неотрицательно только при \(b \geqslant 0\). Следовательно, дробь определена при \(a > 0\) и \(b \geqslant 0\).
Сократим дробь при этих значениях переменных. Так как \(200ab \geqslant 0\) и \(100a > 0\), частное корней равно корню из частного; дробь под корнем сократим на \(100a\): \[\frac{\sqrt{200ab}}{\sqrt{100a}} = \sqrt{\frac{200ab}{100a}} = \sqrt{2b}.\]
Ответ: при \(a > 0\) и \(b \geqslant 0\); \(\sqrt{2b}\).
