Страница 155 номер 744, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сократите дробь: а) \(\frac{b\sqrt{94}}{\sqrt{-2b}}\); б) \(\frac{a\sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}}\); в) \(\frac{\sqrt{5x}+\sqrt{47x}}{\sqrt{-26xy}}\).
а) Корень \(\sqrt{-2b}\) стоит в знаменателе, поэтому дробь имеет смысл при \(-2b > 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Подкоренные выражения неотрицательны (\(94b^2 \geqslant 0\), \(-2b > 0\)), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{94}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{94}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{94b^2}}{\sqrt{-2b}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{94b^2}{-2b}} = -\sqrt{-47b}. \end{aligned}\]
б) Условия, при которых дробь имеет смысл (корень \(\sqrt{-ab}\) стоит в знаменателе, поэтому \(-ab > 0\)): \[\begin{cases} -15b \geqslant 0, \\ -ab > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(b \leqslant 0\). Из второго \(ab < 0\), поэтому \(b \neq 0\), то есть \(b < 0\); произведение \(ab\) отрицательно, только если множители разных знаков, поэтому \(a > 0\). Следовательно, дробь определена при \(a > 0\) и \(b < 0\).
При \(a > 0\) множитель \(a\) можно внести под знак корня: \(a = \sqrt{a^2}\). Подкоренные выражения неотрицательны (\(-15a^2b \geqslant 0\), \(-ab > 0\)), поэтому \[\begin{aligned} &\frac{a\sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}} = \frac{\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}} = \frac{\sqrt{-15a^2b}}{\sqrt{-ab}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{-15a^2b}{-ab}} = \sqrt{15a}. \end{aligned}\]
в) Условия, при которых дробь имеет смысл (корень \(\sqrt{-26xy}\) стоит в знаменателе, поэтому \(-26xy > 0\)): \[\begin{cases} 5x \geqslant 0, \\ 47x \geqslant 0, \\ -26xy > 0. \end{cases}\] Из первых двух неравенств \(x \geqslant 0\). Из третьего \(xy < 0\), поэтому \(x \neq 0\), то есть \(x > 0\); произведение \(xy\) отрицательно, только если множители разных знаков, поэтому \(y < 0\). Следовательно, дробь определена при \(x > 0\) и \(y < 0\).
При этих значениях числа 5, 47, \(x\) и \(-26y\) положительны, поэтому \(\sqrt{5x} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{x}\), \(\sqrt{47x} = \sqrt{47} \cdot \sqrt{x}\), \(\sqrt{-26xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}\). Сократим дробь на множитель \(\sqrt{x}\) — он не равен нулю, так как \(x > 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{5x} + \sqrt{47x}}{\sqrt{-26xy}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{47} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{47})}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{47}}{\sqrt{-26y}}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-47b}\); б) \(\sqrt{15a}\); в) \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{47}}{\sqrt{-26y}}\).
Сократите дробь: а) \(\frac{b\sqrt{94}}{\sqrt{-2b}}\); б) \(\frac{a\sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}}\); в) \(\frac{\sqrt{5x}+\sqrt{47x}}{\sqrt{-26xy}}\).
а) Корень \(\sqrt{-2b}\) стоит в знаменателе, поэтому дробь имеет смысл при \(-2b > 0\): множество допустимых значений переменной для этой дроби задаётся неравенством \(b < 0\).
При \(b < 0\) множитель \(b\) отрицателен, а отрицательное число под знак корня внести нельзя. Так как \(\sqrt{b^2} = |b| = -b\), то \(b = -\sqrt{b^2}\), и знак «минус» ставим перед дробью. Перемножим корни (подкоренные выражения неотрицательны), частное корней запишем как корень из частного (\(94b^2 \geqslant 0\), \(-2b > 0\)) и сократим дробь под корнем на \(-2b\): \[\begin{aligned} &\frac{b\sqrt{94}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{94}}{\sqrt{-2b}} = -\frac{\sqrt{94b^2}}{\sqrt{-2b}} = {} \\ &= -\sqrt{\frac{94b^2}{-2b}} = -\sqrt{-47b}. \end{aligned}\]
б) Запишем условия, при которых дробь имеет смысл, в виде системы (корень \(\sqrt{-ab}\) стоит в знаменателе, поэтому \(-ab > 0\)): \[\begin{cases} -15b \geqslant 0, \\ -ab > 0. \end{cases}\] Из первого неравенства \(b \leqslant 0\). Из второго \(ab < 0\), поэтому \(b \neq 0\), то есть \(b < 0\); произведение \(ab\) отрицательно, только если множители разных знаков, поэтому \(a > 0\). Следовательно, дробь определена при \(a > 0\) и \(b < 0\).
При \(a > 0\) множитель \(a\) можно внести под знак корня: \(a = \sqrt{a^2}\). Перемножим корни (подкоренные выражения неотрицательны), частное корней запишем как корень из частного (\(-15a^2b \geqslant 0\), \(-ab > 0\)) и сократим дробь под корнем на \(-ab\): \[\begin{aligned} &\frac{a\sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}} = \frac{\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{-15b}}{\sqrt{-ab}} = \frac{\sqrt{-15a^2b}}{\sqrt{-ab}} = {} \\ &= \sqrt{\frac{-15a^2b}{-ab}} = \sqrt{15a}. \end{aligned}\]
в) Запишем условия, при которых дробь имеет смысл, в виде системы (корень \(\sqrt{-26xy}\) стоит в знаменателе, поэтому \(-26xy > 0\)): \[\begin{cases} 5x \geqslant 0, \\ 47x \geqslant 0, \\ -26xy > 0. \end{cases}\] Из первых двух неравенств \(x \geqslant 0\). Из третьего \(xy < 0\), поэтому \(x \neq 0\), то есть \(x > 0\); произведение \(xy\) отрицательно, только если множители разных знаков, поэтому \(y < 0\). Следовательно, дробь определена при \(x > 0\) и \(y < 0\).
При этих значениях числа 5, 47, \(x\) и \(-26y\) положительны, поэтому корень из произведения равен произведению корней: \(\sqrt{5x} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{x}\), \(\sqrt{47x} = \sqrt{47} \cdot \sqrt{x}\), \(\sqrt{-26xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}\). Вынесем в числителе общий множитель \(\sqrt{x}\) за скобки и сократим дробь на \(\sqrt{x}\) — он не равен нулю, так как \(x > 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sqrt{5x} + \sqrt{47x}}{\sqrt{-26xy}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{47} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}} = {} \\ &= \frac{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{47})}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-26y}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{47}}{\sqrt{-26y}}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-\sqrt{-47b}\); б) \(\sqrt{15a}\); в) \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{47}}{\sqrt{-26y}}\).
