Страница 151 номер 740, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(3x + 4 = 8x + 5\); б) \(-3 + 8(x - 4) = 2x + 1\); в) \((x + 2)^2 = (x - 4)^2\); г) \((5x - 8)^2 - 25x^2 = 0\); д) \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
а) \[\begin{aligned} 3x + 4 &= 8x + 5; \\ 3x - 8x &= 5 - 4; \\ -5x &= 1; \qquad | : (-5) \\ x &= -0{,}2. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} -3 + 8(x - 4) &= 2x + 1; \\ -3 + 8x - 32 &= 2x + 1; \\ 8x - 2x &= 1 + 3 + 32; \\ 6x &= 36; \qquad | : 6 \\ x &= 6. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} (x + 2)^2 &= (x - 4)^2; \\ x^2 + 4x + 4 &= x^2 - 8x + 16; \\ x^2 + 4x - x^2 + 8x &= 16 - 4; \\ 12x &= 12; \qquad | : 12 \\ x &= 1. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} (5x - 8)^2 - 25x^2 &= 0; \\ 25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 &= 0; \\ -80x + 64 &= 0; \\ -80x &= -64; \qquad | : (-80) \\ x &= 0{,}8. \end{aligned}\]
д) \[\begin{aligned} x^2 + 4x + 3 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен — два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-0{,}2\); б) \(6\); в) \(1\); г) \(0{,}8\); д) \(-3\); \(-1\).
Решите уравнение: а) \(3x + 4 = 8x + 5\); б) \(-3 + 8(x - 4) = 2x + 1\); в) \((x + 2)^2 = (x - 4)^2\); г) \((5x - 8)^2 - 25x^2 = 0\); д) \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
а) Перенесём слагаемое \(8x\) в левую часть уравнения, а число 4 — в правую, изменив их знаки на противоположные, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на \(-5\): \[\begin{aligned} 3x + 4 &= 8x + 5; \\ 3x - 8x &= 5 - 4; \\ -5x &= 1; \qquad | : (-5) \\ x &= -0{,}2. \end{aligned}\]
б) Раскроем скобки, перенесём слагаемое \(2x\) в левую часть уравнения, а числа \(-3\) и \(-32\) — в правую, изменив их знаки на противоположные, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 6: \[\begin{aligned} -3 + 8(x - 4) &= 2x + 1; \\ -3 + 8x - 32 &= 2x + 1; \\ 8x - 2x &= 1 + 3 + 32; \\ 6x &= 36; \qquad | : 6 \\ x &= 6. \end{aligned}\]
в) Раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности, перенесём слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а числа — в правую, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 12: \[\begin{aligned} (x + 2)^2 &= (x - 4)^2; \\ x^2 + 4x + 4 &= x^2 - 8x + 16; \\ x^2 + 4x - x^2 + 8x &= 16 - 4; \\ 12x &= 12; \qquad | : 12 \\ x &= 1. \end{aligned}\]
г) Раскроем скобки по формуле квадрата разности, приведём подобные слагаемые, перенесём число 64 в правую часть уравнения и разделим обе части на \(-80\): \[\begin{aligned} (5x - 8)^2 - 25x^2 &= 0; \\ 25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 &= 0; \\ -80x + 64 &= 0; \\ -80x &= -64; \qquad | : (-80) \\ x &= 0{,}8. \end{aligned}\]
д) Вычислим дискриминант: \[\begin{aligned} x^2 + 4x + 3 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-0{,}2\); б) \(6\); в) \(1\); г) \(0{,}8\); д) \(-3\); \(-1\).
