Страница 151 номер 737, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Турист проплыл на байдарке 3 км по озеру и 2 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 3 км против течения. С какой скоростью турист плыл на байдарке по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Дано:
\(s_1 = 3\) км — путь по озеру
\(s_2 = 2\) км — путь по течению реки
\(s_3 = 3\) км — путь против течения
\(t_1 + t_2 = t_3\) — время на первые два участка равно времени против течения
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость байдарки по озеру.
Решение:
Пусть \(v\) км/ч — скорость байдарки по озеру; в озере течения нет, поэтому это собственная скорость байдарки. Тогда \((v + 3)\) км/ч — скорость по течению, \((v - 3)\) км/ч — против течения.
\(\frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3}\) ч — время по озеру и по течению, \(\frac{3}{v - 3}\) ч — против течения; по условию эти времена равны: \[\begin{aligned} \frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3} &= \frac{3}{v - 3}; \\ \frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3} - \frac{3}{v - 3} &= 0; \\ \frac{3(v + 3)(v - 3) + 2v(v - 3) - 3v(v + 3)}{v(v + 3)(v - 3)} &= 0; \\ \frac{2v^2 - 15v - 27}{v(v + 3)(v - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} 2v^2 - 15v - 27 &= 0; \\ D &= (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441; \\ v_1 &= \frac{15 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 21}{4} = -1{,}5; \\ v_2 &= \frac{15 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 21}{4} = 9. \end{aligned}\] Знаменатель \(v(v + 3)(v - 3)\) обращается в нуль только при \(v = 0\), \(v = -3\) и \(v = 3\), поэтому \(-1{,}5\) и \(9\) — корни уравнения. Скорость может быть только положительной, поэтому число \(-1{,}5\) не подходит. Число 9 больше скорости течения 3, значит, против течения турист действительно мог бы плыть; по озеру он плыл со скоростью 9 км/ч.
Ответ: 9 км/ч.
Турист проплыл на байдарке 3 км по озеру и 2 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 3 км против течения. С какой скоростью турист плыл на байдарке по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
Дано:
\(s_1 = 3\) км — путь по озеру
\(s_2 = 2\) км — путь по течению реки
\(s_3 = 3\) км — путь против течения
\(t_1 + t_2 = t_3\) — время на первые два участка равно времени против течения
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость байдарки по озеру.
Решение:
Обозначим скорость, с которой турист плыл на байдарке по озеру (в км/ч), через \(v\). В озере течения нет, поэтому \(v\) — собственная скорость байдарки. По течению реки байдарка плыла со скоростью \((v + 3)\) км/ч, а против течения плыла бы со скоростью \((v - 3)\) км/ч. На 3 км по озеру и 2 км по течению турист затратил \(\frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3}\) часа, а на 3 км против течения затратил бы \(\frac{3}{v - 3}\) часа. По условию эти времена равны. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3} &= \frac{3}{v - 3}; \\ \frac{3}{v} + \frac{2}{v + 3} - \frac{3}{v - 3} &= 0; \\ \frac{3(v + 3)(v - 3) + 2v(v - 3) - 3v(v + 3)}{v(v + 3)(v - 3)} &= 0; \\ \frac{2v^2 - 15v - 27}{v(v + 3)(v - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} 2v^2 - 15v - 27 &= 0; \\ D &= (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441; \\ v_1 &= \frac{15 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 21}{4} = -1{,}5; \\ v_2 &= \frac{15 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 21}{4} = 9. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-1{,}5\) и \(9\). Знаменатель \(v(v + 3)(v - 3)\) обращается в нуль только при \(v = 0\), \(v = -3\) и \(v = 3\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-1{,}5\) не подходит. Число 9 больше скорости течения 3, значит, против течения турист действительно мог бы плыть.
Таким образом, по озеру турист плыл на байдарке со скоростью 9 км/ч. Проверим: на путь по озеру и по течению он затратил \(\frac{3}{9} + \frac{2}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\) (ч), а против течения со скоростью \(9 - 3 = 6\) (км/ч) он проплыл бы 3 км за \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (ч).
Ответ: 9 км/ч.
