Страница 151 номер 738, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(5 : 8\) — отношение масс золота и серебра в первом сплаве
\(1 : 2\) — отношение масс золота и серебра во втором сплаве
\(M = 11\) кг — масса нового сплава
\(4 : 7\) — отношение масс золота и серебра в новом сплаве

Найти: массы первого и второго сплавов, которые нужно взять.

Решение:

В новом сплаве \(4 + 7 = 11\) частей, а его масса равна 11 кг, поэтому на каждую часть приходится 1 кг: золота в нём должно быть 4 кг, серебра — 7 кг.

Обозначим через \(m\) массу первого сплава (в кг). Тогда второго сплава нужно взять \((11 - m)\) кг. В первом сплаве \(5 + 8 = 13\) частей, из них 5 частей — золото, поэтому в \(m\) кг этого сплава \(\frac{5m}{13}\) кг золота. Во втором сплаве \(1 + 2 = 3\) части, из них одна часть — золото, поэтому в \((11 - m)\) кг этого сплава \(\frac{11 - m}{3}\) кг золота. Всего золота в новом сплаве 4 кг. Составим уравнение, умножим обе его части на 39, раскроем скобки, перенесём число 143 в правую часть, приведём подобные слагаемые и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} \frac{5m}{13} + \frac{11 - m}{3} &= 4; \qquad | \cdot 39 \\ 15m + 13(11 - m) &= 156; \\ 15m + 143 - 13m &= 156; \\ 15m - 13m &= 156 - 143; \\ 2m &= 13; \qquad | : 2 \\ m &= 6{,}5. \end{aligned}\] Масса сплава может быть только положительной и меньше 11 кг, и число \(6{,}5\) этому удовлетворяет. Значит, первого сплава нужно взять \(6{,}5\) кг, а второго — \(11 - 6{,}5 = 4{,}5\) (кг).

Проверим: золота в новом сплаве будет \(\frac{5}{13} \cdot 6{,}5 + \frac{1}{3} \cdot 4{,}5 = 2{,}5 + 1{,}5 = 4\) (кг), серебра — \(\frac{8}{13} \cdot 6{,}5 + \frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 4 + 3 = 7\) (кг); отношение масс золота и серебра — \(4 : 7\).

Ответ: \(6{,}5\) кг первого сплава и \(4{,}5\) кг второго.