Страница 151 номер 734, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Турист проплыл на байдарке 9 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 12 км против течения. С какой скоростью турист плыл на байдарке по озеру, если скорость течения реки равна 1 км/ч?
Дано:
\(s_1 = 9\) км — путь по озеру
\(s_2 = 5\) км — путь по течению реки
\(s_3 = 12\) км — путь против течения
\(t_1 + t_2 = t_3\) — время на первые два участка равно времени против течения
\(v_{\text{теч}} = 1\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость байдарки по озеру.
Решение:
Пусть \(v\) км/ч — скорость байдарки по озеру; в озере течения нет, поэтому это собственная скорость байдарки. Тогда \((v + 1)\) км/ч — скорость по течению, \((v - 1)\) км/ч — против течения.
\(\frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1}\) ч — время по озеру и по течению, \(\frac{12}{v - 1}\) ч — против течения; по условию эти времена равны: \[\begin{aligned} \frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1} &= \frac{12}{v - 1}; \\ \frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1} - \frac{12}{v - 1} &= 0; \\ \frac{9(v + 1)(v - 1) + 5v(v - 1) - 12v(v + 1)}{v(v + 1)(v - 1)} &= 0; \\ \frac{2v^2 - 17v - 9}{v(v + 1)(v - 1)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} 2v^2 - 17v - 9 &= 0; \\ D &= (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361; \\ v_1 &= \frac{17 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 19}{4} = -0{,}5; \\ v_2 &= \frac{17 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 19}{4} = 9. \end{aligned}\] Знаменатель \(v(v + 1)(v - 1)\) обращается в нуль только при \(v = 0\), \(v = -1\) и \(v = 1\), поэтому \(-0{,}5\) и \(9\) — корни уравнения. Скорость может быть только положительной, поэтому число \(-0{,}5\) не подходит. Число 9 больше скорости течения 1, значит, против течения турист действительно мог бы плыть; по озеру он плыл со скоростью 9 км/ч.
Ответ: 9 км/ч.
Турист проплыл на байдарке 9 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 12 км против течения. С какой скоростью турист плыл на байдарке по озеру, если скорость течения реки равна 1 км/ч?
Дано:
\(s_1 = 9\) км — путь по озеру
\(s_2 = 5\) км — путь по течению реки
\(s_3 = 12\) км — путь против течения
\(t_1 + t_2 = t_3\) — время на первые два участка равно времени против течения
\(v_{\text{теч}} = 1\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость байдарки по озеру.
Решение:
Обозначим скорость, с которой турист плыл на байдарке по озеру (в км/ч), через \(v\). В озере течения нет, поэтому \(v\) — собственная скорость байдарки. По течению реки байдарка плыла со скоростью \((v + 1)\) км/ч, а против течения плыла бы со скоростью \((v - 1)\) км/ч. На 9 км по озеру и 5 км по течению турист затратил \(\frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1}\) часа, а на 12 км против течения затратил бы \(\frac{12}{v - 1}\) часа. По условию эти времена равны. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1} &= \frac{12}{v - 1}; \\ \frac{9}{v} + \frac{5}{v + 1} - \frac{12}{v - 1} &= 0; \\ \frac{9(v + 1)(v - 1) + 5v(v - 1) - 12v(v + 1)}{v(v + 1)(v - 1)} &= 0; \\ \frac{2v^2 - 17v - 9}{v(v + 1)(v - 1)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} 2v^2 - 17v - 9 &= 0; \\ D &= (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 289 + 72 = 361; \\ v_1 &= \frac{17 - \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 19}{4} = -0{,}5; \\ v_2 &= \frac{17 + \sqrt{361}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 19}{4} = 9. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-0{,}5\) и \(9\). Знаменатель \(v(v + 1)(v - 1)\) обращается в нуль только при \(v = 0\), \(v = -1\) и \(v = 1\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-0{,}5\) не подходит. Число 9 больше скорости течения 1, значит, против течения турист действительно мог бы плыть.
Таким образом, по озеру турист плыл на байдарке со скоростью 9 км/ч. Проверим: на путь по озеру и по течению он затратил \(\frac{9}{9} + \frac{5}{10} = 1{,}5\) (ч), а против течения со скоростью \(9 - 1 = 8\) (км/ч) он проплыл бы 12 км за \(\frac{12}{8} = 1{,}5\) (ч).
Ответ: 9 км/ч.
