Страница 151 номер 735, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дан прямоугольник площадью 16. Если, сохраняя площадь, увеличить длину одной из его сторон на 2, то длина второй уменьшится на 4. Найдите периметр исходного прямоугольника.
Дано:
\(S = ab = 16\) — площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\)
\((a + 2)(b - 4) = 16\) — площадь после изменения сторон
Найти: \(P\) — периметр исходного прямоугольника.
Решение:
Пусть \(a\) — сторона исходного прямоугольника, которую увеличили, тогда вторая его сторона равна \(\frac{16}{a}\).
\(a + 2\) и \(\frac{16}{a} - 4\) — стороны нового прямоугольника, его площадь по-прежнему 16: \[\begin{aligned} (a + 2)\left(\frac{16}{a} - 4\right) &= 16; \\ \frac{(a + 2)(16 - 4a)}{a} - 16 &= 0; \\ \frac{(a + 2)(16 - 4a) - 16a}{a} &= 0; \\ \frac{-4a^2 - 8a + 32}{a} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{a^2 + 2a - 8}{a} &= 0. \end{aligned}\] Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} a^2 + 2a - 8 = 0, \\ a \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} a^2 + 2a - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ a_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ a_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(a \neq 0\). Длина стороны прямоугольника может быть только положительной, поэтому число \(-4\) не подходит, и \(a = 2\).
\(\frac{16}{2} = 8\) — вторая сторона исходного прямоугольника.
\(P = 2 \cdot (2 + 8) = 20\) — периметр исходного прямоугольника.
Ответ: 20.
Дан прямоугольник площадью 16. Если, сохраняя площадь, увеличить длину одной из его сторон на 2, то длина второй уменьшится на 4. Найдите периметр исходного прямоугольника.
Дано:
\(S = ab = 16\) — площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\)
\((a + 2)(b - 4) = 16\) — площадь после изменения сторон
Найти: \(P\) — периметр исходного прямоугольника.
Решение:
Обозначим через \(a\) длину той стороны исходного прямоугольника, которая увеличилась. Тогда вторая сторона исходного прямоугольника равна \(\frac{16}{a}\). Стороны получившегося прямоугольника равны \(a + 2\) и \(\frac{16}{a} - 4\), а его площадь по-прежнему равна 16. Составим уравнение, запишем разность во второй скобке дробью, перенесём число 16 в левую часть, приведём к общему знаменателю и разделим обе части на \(-4\): \[\begin{aligned} (a + 2)\left(\frac{16}{a} - 4\right) &= 16; \\ \frac{(a + 2)(16 - 4a)}{a} - 16 &= 0; \\ \frac{(a + 2)(16 - 4a) - 16a}{a} &= 0; \\ \frac{-4a^2 - 8a + 32}{a} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{a^2 + 2a - 8}{a} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} a^2 + 2a - 8 = 0, \\ a \neq 0. \end{cases}\] Решим квадратное уравнение системы: \[\begin{aligned} a^2 + 2a - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36; \\ a_1 &= \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4; \\ a_2 &= \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(a \neq 0\). Однако длина стороны прямоугольника может быть только положительной, поэтому число \(-4\) не подходит. Следовательно, одна сторона исходного прямоугольника равна 2, а другая равна \(\frac{16}{2} = 8\). Стороны нового прямоугольника равны \(2 + 2 = 4\) и \(8 - 4 = 4\), его площадь \(4 \cdot 4 = 16\).
Найдём периметр исходного прямоугольника: \(P = 2 \cdot (2 + 8) = 20\).
Ответ: 20.
