Страница 151 номер 731, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(s = 35\) км — расстояние между пунктами А и Б
\(v_{\text{теч}} = 4\) км/ч — скорость течения
\(s_{\text{пл}} = 12\) км — путь плота за время движения лодки
Найти: \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Решение:
Плот плывёт со скоростью течения 4 км/ч, поэтому лодка была в движении \(12 : 4 = 3\) (ч).
Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Из А в Б, как и плот, лодка шла по течению — со скоростью \((v + 4)\) км/ч, обратно — против течения, со скоростью \((v - 4)\) км/ч; на весь путь ушло 3 ч: \[\begin{aligned} \frac{35}{v + 4} + \frac{35}{v - 4} &= 3; \\ \frac{35(v - 4) + 35(v + 4) - 3(v + 4)(v - 4)}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \\ \frac{-3v^2 + 70v + 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{3v^2 - 70v - 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} 3v^2 - 70v - 48 &= 0; \\ D &= (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476; \\ v_1 &= \frac{70 - \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{70 - 74}{6} = -\frac{2}{3}; \\ v_2 &= \frac{70 + \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{70 + 74}{6} = 24. \end{aligned}\] Знаменатель \((v + 4)(v - 4)\) обращается в нуль только при \(v = -4\) и \(v = 4\), поэтому \(-\frac{2}{3}\) и \(24\) — корни уравнения. Скорость может быть только положительной, поэтому число \(-\frac{2}{3}\) не подходит. Число 24 больше скорости течения 4, значит, лодка действительно могла вернуться против течения; её скорость в неподвижной воде — 24 км/ч.
Ответ: 24 км/ч.
Дано:
\(s = 35\) км — расстояние между пунктами А и Б
\(v_{\text{теч}} = 4\) км/ч — скорость течения
\(s_{\text{пл}} = 12\) км — путь плота за время движения лодки
Найти: \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Решение:
Собственная скорость плота равна нулю, поэтому он плывёт со скоростью течения 4 км/ч. За время движения лодки плот проплыл 12 км, следовательно, лодка находилась в движении \(12 : 4 = 3\) (ч).
Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде (в км/ч) через \(v\). Плот плыл из А в Б, значит, из А в Б лодка шла по течению — со скоростью \((v + 4)\) км/ч, а обратно — против течения, со скоростью \((v - 4)\) км/ч. Время движения лодки из А в Б и обратно составило \(\frac{35}{v + 4} + \frac{35}{v - 4}\) часа. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{35}{v + 4} + \frac{35}{v - 4} &= 3; \\ \frac{35(v - 4) + 35(v + 4) - 3(v + 4)(v - 4)}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \\ \frac{-3v^2 + 70v + 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{3v^2 - 70v - 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} 3v^2 - 70v - 48 &= 0; \\ D &= (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476; \\ v_1 &= \frac{70 - \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{70 - 74}{6} = -\frac{2}{3}; \\ v_2 &= \frac{70 + \sqrt{5476}}{2 \cdot 3} = \frac{70 + 74}{6} = 24. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-\frac{2}{3}\) и \(24\). Знаменатель \((v + 4)(v - 4)\) обращается в нуль только при \(v = -4\) и \(v = 4\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-\frac{2}{3}\) не подходит. Число 24 больше скорости течения 4, значит, лодка действительно могла вернуться против течения.
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна 24 км/ч. По течению лодка шла со скоростью \(24 + 4 = 28\) (км/ч) и затратила \(\frac{35}{28} = 1{,}25\) (ч), против течения — со скоростью \(24 - 4 = 20\) (км/ч) и затратила \(\frac{35}{20} = 1{,}75\) (ч); всего \(1{,}25 + 1{,}75 = 3\) (ч).
Ответ: 24 км/ч.
