Страница 151 номер 733, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Первая труба наполняет бассейн водой на 18 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот же бассейн за 12 минут. За сколько минут наполнит этот бассейн одна вторая труба?
Дано:
\(t_1 = t_2 + 18\) (мин) — время наполнения бассейна первой и второй трубой
\(t = 12\) мин — время наполнения бассейна обеими трубами вместе
Найти: \(t_2\).
Решение:
Пусть \(t_2 = x\) мин, тогда \(t_1 = x + 18\) (мин).
Объём бассейна примем за 1: за минуту первая труба наполняет \(\frac{1}{x + 18}\) бассейна, вторая — \(\frac{1}{x}\) бассейна; вместе они наполняют весь бассейн за 12 минут: \[\begin{aligned} 12\left(\frac{1}{x + 18} + \frac{1}{x}\right) &= 1; \\ \frac{12}{x + 18} + \frac{12}{x} - 1 &= 0; \\ \frac{12x + 12(x + 18) - x(x + 18)}{x(x + 18)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 6x + 216}{x(x + 18)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 6x - 216}{x(x + 18)} &= 0. \end{aligned}\] Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 6x - 216 = 0, \\ x(x + 18) \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} x^2 - 6x - 216 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 30}{2} = -12; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 30}{2} = 18. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(x(x + 18) \neq 0\): оно нарушается только при \(x = 0\) и \(x = -18\). Время может быть только положительным, поэтому число \(-12\) не подходит: вторая труба наполняет бассейн за 18 минут.
Ответ: 18 минут.
Первая труба наполняет бассейн водой на 18 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая вместе, наполняют этот же бассейн за 12 минут. За сколько минут наполнит этот бассейн одна вторая труба?
Дано:
\(t_1 = t_2 + 18\) (мин) — время наполнения бассейна первой и второй трубой
\(t = 12\) мин — время наполнения бассейна обеими трубами вместе
Найти: \(t_2\).
Решение:
Пусть вторая труба наполняет бассейн за \(x\) минут, то есть \(t_2 = x\). Тогда первая труба наполняет его за \(x + 18\) минут. Примем объём бассейна за 1: за одну минуту первая труба наполняет \(\frac{1}{x + 18}\) бассейна, а вторая — \(\frac{1}{x}\) бассейна. При совместной работе производительности складываются, и обе трубы вместе наполняют бассейн за 12 минут. Составим уравнение, раскроем скобки, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} 12\left(\frac{1}{x + 18} + \frac{1}{x}\right) &= 1; \\ \frac{12}{x + 18} + \frac{12}{x} - 1 &= 0; \\ \frac{12x + 12(x + 18) - x(x + 18)}{x(x + 18)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 6x + 216}{x(x + 18)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 6x - 216}{x(x + 18)} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 6x - 216 = 0, \\ x(x + 18) \neq 0. \end{cases}\] Решим квадратное уравнение системы: \[\begin{aligned} x^2 - 6x - 216 &= 0; \\ D &= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900; \\ x_1 &= \frac{6 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 30}{2} = -12; \\ x_2 &= \frac{6 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 30}{2} = 18. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(x(x + 18) \neq 0\): оно нарушается только при \(x = 0\) и \(x = -18\). Однако время может быть только положительным, поэтому число \(-12\) не подходит.
Таким образом, вторая труба наполняет бассейн за 18 минут, а первая — за \(18 + 18 = 36\) минут. Вместе за одну минуту они наполняют \(\frac{1}{36} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) бассейна, то есть весь бассейн — за 12 минут.
Ответ: 18 минут.
