Страница 151 номер 732, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В водном растворе кислоты содержится 22 кг воды. После добавления 11 кг такой же кислоты число, обозначающее концентрацию кислоты (в процентах), увеличилось на 10 %. Определите массу первоначального раствора.
Дано:
\(m_{\text{в}} = 22\) кг — масса воды в растворе
\(m_{\text{к}} = 11\) кг — масса добавленной кислоты
число процентов, обозначающее концентрацию кислоты, увеличилось на \(10\,\%\)
Найти: \(m\) — масса первоначального раствора.
Решение:
Пусть \(m\) кг — масса первоначального раствора, тогда кислоты в нём \((m - 22)\) кг, её концентрация — \(\frac{m - 22}{m} \cdot 100\,\%\).
После добавления 11 кг кислоты масса раствора — \((m + 11)\) кг, кислоты в нём \(m - 22 + 11 = m - 11\) (кг), концентрация — \(\frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100\,\%\).
Число процентов увеличилось на 10 %; по смыслу задачи это значит, что оно стало на 10 больше: \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 100 + 10; \qquad | : 10 \\ \frac{10(m - 11)}{m + 11} &= \frac{10(m - 22)}{m} + 1; \\ \frac{10m(m - 11) - 10(m - 22)(m + 11) - m(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-m^2 - 11m + 2420}{m(m + 11)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{m^2 + 11m - 2420}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} m^2 + 11m - 2420 = 0, \\ m(m + 11) \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} m^2 + 11m - 2420 &= 0; \\ D &= 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2420) = 121 + 9680 = 9801; \\ m_1 &= \frac{-11 - \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 99}{2} = -55; \\ m_2 &= \frac{-11 + \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 99}{2} = 44. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(m(m + 11) \neq 0\): оно нарушается только при \(m = 0\) и \(m = -11\). Масса может быть только положительной, поэтому число \(-55\) не подходит, и \(m = 44\).
Кислоты было \(44 - 22 = 22\) (кг), стало \(22 + 11 = 33\) (кг) в \(44 + 11 = 55\) (кг) раствора; \(\frac{22}{44} = 0{,}5\), \(\frac{33}{55} = 0{,}6\).
Концентрация: \(50\,\% \to 60\,\%\).
Если понимать «увеличилось на 10 %» буквально, то число процентов стало в \(1{,}1\) раза больше: \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= 1{,}1 \cdot \frac{m - 22}{m} \cdot 100; \qquad | : 100 \\ \frac{m - 11}{m + 11} &= \frac{1{,}1(m - 22)}{m}; \\ \frac{m(m - 11) - 1{,}1(m - 22)(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-0{,}1m^2 + 1{,}1m + 266{,}2}{m(m + 11)} &= 0; \qquad | \cdot (-10) \\ \frac{m^2 - 11m - 2662}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} m^2 - 11m - 2662 &= 0; \\ D &= (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2662) = 121 + 10\,648 = 10\,769; \\ m_1 &= \frac{11 - \sqrt{10\,769}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 11\sqrt{89}}{2}; \\ m_2 &= \frac{11 + \sqrt{10\,769}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 11\sqrt{89}}{2}. \end{aligned}\] \(10\,769 = 121 \cdot 89\), поэтому \(\sqrt{10\,769} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{89} = 11\sqrt{89}\).
Число \(m_1\) отрицательно, так как \(\sqrt{89} > 1\), — масса может быть только положительной, поэтому оно не подходит. Число \(m_2\) положительно, поэтому знаменатель \(m(m + 11)\) при нём не обращается в нуль, и \(m_2\) — корень уравнения; кроме того, \(m_2 > 22\), так как \(\sqrt{89} > 3\), то есть масса кислоты \(m - 22\) при нём положительна. Так как \(\sqrt{89} \approx 9{,}434\), получаем \[m = \frac{11 + 11\sqrt{89}}{2} \approx \frac{11 + 11 \cdot 9{,}434}{2} \approx 57{,}39 \text{ (кг)}.\]
Ответ: \(44\) кг (если число процентов увеличилось в \(1{,}1\) раза — \(\approx 57{,}39\) кг).
В водном растворе кислоты содержится 22 кг воды. После добавления 11 кг такой же кислоты число, обозначающее концентрацию кислоты (в процентах), увеличилось на 10 %. Определите массу первоначального раствора.
Дано:
\(m_{\text{в}} = 22\) кг — масса воды в растворе
\(m_{\text{к}} = 11\) кг — масса добавленной кислоты
число процентов, обозначающее концентрацию кислоты, увеличилось на \(10\,\%\)
Найти: \(m\) — масса первоначального раствора.
Решение:
Обозначим массу первоначального раствора (в кг) через \(m\). Тогда масса кислоты в нём составляла \(m - 22\) кг, а её концентрация в растворе была равна \(\frac{m - 22}{m} \cdot 100\,\%\). После добавления 11 кг кислоты масса раствора стала равна \(m + 11\) кг, масса кислоты в нём — \(m - 22 + 11 = m - 11\) кг, а концентрация кислоты — \(\frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100\,\%\). Число, обозначающее концентрацию кислоты в процентах, увеличилось на 10 %; по смыслу задачи это значит, что оно стало на 10 больше. Составим уравнение, разделим обе его части на 10, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= \frac{m - 22}{m} \cdot 100 + 10; \qquad | : 10 \\ \frac{10(m - 11)}{m + 11} &= \frac{10(m - 22)}{m} + 1; \\ \frac{10m(m - 11) - 10(m - 22)(m + 11) - m(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-m^2 - 11m + 2420}{m(m + 11)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{m^2 + 11m - 2420}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} m^2 + 11m - 2420 = 0, \\ m(m + 11) \neq 0. \end{cases}\] Решим квадратное уравнение системы: \[\begin{aligned} m^2 + 11m - 2420 &= 0; \\ D &= 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2420) = 121 + 9680 = 9801; \\ m_1 &= \frac{-11 - \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 99}{2} = -55; \\ m_2 &= \frac{-11 + \sqrt{9801}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 99}{2} = 44. \end{aligned}\] Оба числа удовлетворяют неравенству \(m(m + 11) \neq 0\): оно нарушается только при \(m = 0\) и \(m = -11\). Однако масса может быть только положительной, поэтому число \(-55\) не подходит, и \(m = 44\).
Таким образом, масса первоначального раствора равна 44 кг. Кислоты в нём было \(44 - 22 = 22\) (кг), а после добавления стало \(22 + 11 = 33\) (кг) в \(44 + 11 = 55\) (кг) раствора; \(\frac{22}{44} = 0{,}5\), \(\frac{33}{55} = 0{,}6\).
Концентрация: \(50\,\% \to 60\,\%\).
Если понимать «увеличилось на 10 %» буквально (число стало в \(1{,}1\) раза больше): число процентов после добавления кислоты равно первоначальному, умноженному на \(1{,}1\). Составим уравнение, разделим обе его части на 100, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-10\): \[\begin{aligned} \frac{m - 11}{m + 11} \cdot 100 &= 1{,}1 \cdot \frac{m - 22}{m} \cdot 100; \qquad | : 100 \\ \frac{m - 11}{m + 11} &= \frac{1{,}1(m - 22)}{m}; \\ \frac{m(m - 11) - 1{,}1(m - 22)(m + 11)}{m(m + 11)} &= 0; \\ \frac{-0{,}1m^2 + 1{,}1m + 266{,}2}{m(m + 11)} &= 0; \qquad | \cdot (-10) \\ \frac{m^2 - 11m - 2662}{m(m + 11)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} m^2 - 11m - 2662 &= 0; \\ D &= (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2662) = 121 + 10\,648 = 10\,769; \\ m_1 &= \frac{11 - \sqrt{10\,769}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 11\sqrt{89}}{2}; \\ m_2 &= \frac{11 + \sqrt{10\,769}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 11\sqrt{89}}{2}. \end{aligned}\] Здесь \(10\,769 = 121 \cdot 89\), а корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них: \(\sqrt{10\,769} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{89} = 11\sqrt{89}\). Число \(m_1\) отрицательно, так как \(\sqrt{89} > 1\), — масса может быть только положительной, поэтому оно не подходит. Число \(m_2\) положительно, поэтому знаменатель \(m(m + 11)\) при нём не обращается в нуль, и \(m_2\) — корень уравнения; кроме того, \(m_2 > 22\), так как \(\sqrt{89} > 3\), то есть масса кислоты \(m - 22\) при нём положительна. Так как \(\sqrt{89} \approx 9{,}434\), получаем \[m = \frac{11 + 11\sqrt{89}}{2} \approx \frac{11 + 11 \cdot 9{,}434}{2} \approx 57{,}39 \text{ (кг)}.\]
Ответ: \(44\) кг (если число процентов увеличилось в \(1{,}1\) раза — \(\approx 57{,}39\) кг).
