Страница 150 номер 729, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сплав меди и цинка массой 70 кг содержит 36 % меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому сплаву, чтобы получить новый сплав, содержащий 60 % меди?
Дано:
\(M = 70\) кг — масса сплава
\(36\,\%\) — содержание меди в сплаве
\(60\,\%\) — содержание меди в новом сплаве
Найти: \(m\) — масса меди, которую нужно добавить.
Решение:
\(0{,}36 \cdot 70 = 25{,}2\) (кг) — масса меди в сплаве.
Пусть нужно добавить \(m\) кг меди, тогда масса нового сплава — \((70 + m)\) кг, меди в нём — \((25{,}2 + m)\) кг, и это \(0{,}6\) массы сплава: \[\begin{aligned} \frac{25{,}2 + m}{70 + m} &= 0{,}6; \qquad | \cdot 10 \\ \frac{252 + 10m}{70 + m} &= 6; \\ \frac{252 + 10m - 6(70 + m)}{70 + m} &= 0; \\ \frac{4m - 168}{70 + m} &= 0. \end{aligned}\] Числитель \(4m - 168\) обращается в нуль при \(m = 42\), а знаменатель \(70 + m\) — только при \(m = -70\), поэтому 42 — единственный корень уравнения: нужно добавить 42 кг меди.
Ответ: 42 кг.
Сплав меди и цинка массой 70 кг содержит 36 % меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому сплаву, чтобы получить новый сплав, содержащий 60 % меди?
Дано:
\(M = 70\) кг — масса сплава
\(36\,\%\) — содержание меди в сплаве
\(60\,\%\) — содержание меди в новом сплаве
Найти: \(m\) — масса меди, которую нужно добавить.
Решение:
Сплав массой 70 кг содержит 36 % меди, значит, масса меди в нём равна \(0{,}36 \cdot 70 = 25{,}2\) (кг).
Обозначим через \(m\) массу меди (в кг), которую нужно добавить к этому сплаву. Тогда масса получившегося сплава будет равна \(70 + m\) кг, а масса меди в нём — \(25{,}2 + m\) кг. Новый сплав должен содержать 60 % меди, то есть масса меди должна составлять \(0{,}6\) массы сплава. Составим уравнение, умножим обе его части на 10, перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{25{,}2 + m}{70 + m} &= 0{,}6; \qquad | \cdot 10 \\ \frac{252 + 10m}{70 + m} &= 6; \\ \frac{252 + 10m - 6(70 + m)}{70 + m} &= 0; \\ \frac{4m - 168}{70 + m} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель \(4m - 168\) обращается в нуль при \(m = 42\), причём это число не является корнем знаменателя: знаменатель \(70 + m\) равен нулю только при \(m = -70\). Значит, уравнение имеет единственный корень 42.
Таким образом, для того чтобы новый сплав содержал 60 % меди, нужно добавить к первоначальному сплаву 42 кг меди: тогда в \(70 + 42 = 112\) (кг) сплава будет \(25{,}2 + 42 = 67{,}2\) (кг) меди, и \(\frac{67{,}2}{112} = 0{,}6\).
Ответ: 42 кг.
