Страница 151 номер 730, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(10 : 3\) — отношение масс листьев чёрного чая и фруктовых добавок в первой смеси
\(5 : 3\) — то же отношение во второй смеси
\(5 : 2\) — то же отношение в третьей смеси
Найти: отношение масс первой и второй смесей, из которых составлена третья.
Решение:
Соотношение, в котором берут смеси, не зависит от массы третьей смеси, поэтому массу второй смеси можно выбрать любой. Во второй смеси \(5 + 3 = 8\) частей; возьмём 8 кг второй смеси — по 1 кг на часть: 5 кг листьев чая и 3 кг добавок.
Пусть \(m\) кг — масса первой смеси. В ней \(10 + 3 = 13\) частей, поэтому листьев чая \(\frac{10m}{13}\) кг, добавок — \(\frac{3m}{13}\) кг.
В третьей смеси \(\left(\frac{10m}{13} + 5\right)\) кг листьев чая и \(\left(\frac{3m}{13} + 3\right)\) кг добавок, их отношение равно \(\frac{5}{2}\): \[\begin{aligned} \frac{\frac{10m}{13} + 5}{\frac{3m}{13} + 3} &= \frac{5}{2}; \\ \frac{10m + 65}{3m + 39} &= \frac{5}{2}; \\ \frac{10m + 65}{3m + 39} - \frac{5}{2} &= 0; \\ \frac{2(10m + 65) - 5(3m + 39)}{2(3m + 39)} &= 0; \\ \frac{5m - 65}{2(3m + 39)} &= 0. \end{aligned}\] Числитель \(5m - 65\) обращается в нуль при \(m = 13\), а знаменатель \(2(3m + 39)\) — только при \(m = -13\), поэтому 13 — единственный корень уравнения.
На 8 кг второй смеси нужно взять 13 кг первой, то есть смеси берут в соотношении \(13 : 8\).
Ответ: \(13 : 8\).
Дано:
\(10 : 3\) — отношение масс листьев чёрного чая и фруктовых добавок в первой смеси
\(5 : 3\) — то же отношение во второй смеси
\(5 : 2\) — то же отношение в третьей смеси
Найти: отношение масс первой и второй смесей, из которых составлена третья.
Решение:
Соотношение, в котором берут смеси, не зависит от того, сколько всего готовят третьей смеси, поэтому массу второй смеси можно выбрать любой. Во второй смеси \(5 + 3 = 8\) частей; возьмём 8 кг второй смеси — тогда на каждую часть приходится 1 кг, и в ней 5 кг листьев чёрного чая и 3 кг фруктовых добавок.
Обозначим через \(m\) массу первой смеси (в кг), которую нужно взять. В первой смеси \(10 + 3 = 13\) частей, из них 10 частей — листья чёрного чая и 3 части — фруктовые добавки, поэтому в \(m\) кг первой смеси \(\frac{10m}{13}\) кг листьев чая и \(\frac{3m}{13}\) кг добавок. В третьей смеси будет \(\left(\frac{10m}{13} + 5\right)\) кг листьев чая и \(\left(\frac{3m}{13} + 3\right)\) кг добавок, а отношение этих масс должно быть равно \(\frac{5}{2}\). Составим уравнение; числитель и знаменатель дроби в его левой части умножим на 13, затем перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю: \[\begin{aligned} \frac{\frac{10m}{13} + 5}{\frac{3m}{13} + 3} &= \frac{5}{2}; \\ \frac{10m + 65}{3m + 39} &= \frac{5}{2}; \\ \frac{10m + 65}{3m + 39} - \frac{5}{2} &= 0; \\ \frac{2(10m + 65) - 5(3m + 39)}{2(3m + 39)} &= 0; \\ \frac{5m - 65}{2(3m + 39)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель \(5m - 65\) обращается в нуль при \(m = 13\), причём это число не является корнем знаменателя: знаменатель \(2(3m + 39)\) равен нулю только при \(m = -13\). Значит, уравнение имеет единственный корень 13.
Таким образом, на 8 кг второй смеси нужно взять 13 кг первой. Проверим: в 13 кг первой смеси 10 кг листьев чая и 3 кг добавок, поэтому в третьей смеси \(10 + 5 = 15\) (кг) листьев чая и \(3 + 3 = 6\) (кг) добавок, а \(15 : 6 = 5 : 2\). Значит, первую и вторую смеси нужно взять в соотношении \(13 : 8\).
Ответ: \(13 : 8\).
