Страница 150 номер 728, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(S = 84\,000\) р. — стоимость приставки
\(a_2 = a_1 + 1000\) (р.) — увеличенный ежемесячный платёж и платёж по договору
\(n_1 - n_2 = 2\) — на столько месяцев сократится срок выплат

Найти: \(a_1\) — ежемесячный платёж по договору.

Решение:

Обозначим ежемесячный платёж по договору (в тысячах рублей) через \(x\). Тогда весь долг Надежда Михайловна выплатит за \(\frac{84}{x}\) месяцев. Если ежемесячный платёж (в тысячах рублей) составит \(x + 1\), то она выплатит долг за \(\frac{84}{x + 1}\) месяцев, причём это на 2 месяца меньше, чем при платеже по договору. Составим уравнение, разделим обе его части на 2, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{84}{x} - \frac{84}{x + 1} &= 2; \qquad | : 2 \\ \frac{42}{x} - \frac{42}{x + 1} &= 1; \\ \frac{42(x + 1) - 42x - x(x + 1)}{x(x + 1)} &= 0; \\ \frac{-x^2 - x + 42}{x(x + 1)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 + x - 42}{x(x + 1)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 + x - 42 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = -7; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = 6. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-7\) и \(6\). Знаменатель \(x(x + 1)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = -1\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако ежемесячный платёж может быть только положительным, поэтому число \(-7\) не подходит.

Таким образом, ежемесячный платёж по договору составляет 6000 рублей. При таком платеже долг выплачивается за \(84 : 6 = 14\) месяцев, а при платеже 7000 рублей — за \(84 : 7 = 12\) месяцев, на 2 месяца быстрее.

Ответ: 6000 рублей.