Страница 150 номер 726, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(C_{\text{б}} - C_{\text{п}} = 500\) р. — разность цен беспроводных и проводных наушников
\(500\) р. — на столько подешевели и те и другие наушники
\(r_{\text{п}} - r_{\text{б}} = 5\) — разность чисел процентов, на которые снизились цены
Найти: \(C_{\text{б}}\) — первоначальная стоимость беспроводных наушников.
Решение:
Пусть \(x\) р. — первоначальная стоимость беспроводных наушников, тогда \((x - 500)\) р. — проводных.
Цена беспроводных наушников снизилась на \(\frac{500}{x} \cdot 100\) процентов, проводных — на \(\frac{500}{x - 500} \cdot 100\) процентов, на 5 больше: \[\begin{aligned} \frac{500}{x - 500} \cdot 100 &= \frac{500}{x} \cdot 100 + 5; \qquad | : 5 \\ \frac{10\,000}{x - 500} &= \frac{10\,000}{x} + 1; \\ \frac{10\,000x - 10\,000(x - 500) - x(x - 500)}{x(x - 500)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 500x + 5\,000\,000}{x(x - 500)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 500x - 5\,000\,000}{x(x - 500)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - 500x - 5\,000\,000 &= 0; \\ D &= (-500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5\,000\,000) = {} \\ &= 250\,000 + 20\,000\,000 = 20\,250\,000; \\ x_1 &= \frac{500 - \sqrt{20\,250\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{500 - 4500}{2} = -2000; \\ x_2 &= \frac{500 + \sqrt{20\,250\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{500 + 4500}{2} = 2500. \end{aligned}\] Знаменатель \(x(x - 500)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = 500\), поэтому \(-2000\) и \(2500\) — корни уравнения. Стоимость может быть только положительной, поэтому число \(-2000\) не подходит: беспроводные наушники стоили 2500 рублей.
Ответ: 2500 рублей.
Дано:
\(C_{\text{б}} - C_{\text{п}} = 500\) р. — разность цен беспроводных и проводных наушников
\(500\) р. — на столько подешевели и те и другие наушники
\(r_{\text{п}} - r_{\text{б}} = 5\) — разность чисел процентов, на которые снизились цены
Найти: \(C_{\text{б}}\) — первоначальная стоимость беспроводных наушников.
Решение:
Обозначим первоначальную стоимость беспроводных наушников (в рублях) через \(x\). Тогда проводные наушники стоили \(x - 500\) рублей. И те и другие подешевели на 500 рублей, поэтому цена беспроводных наушников снизилась на \(\frac{500}{x} \cdot 100\) процентов, а цена проводных — на \(\frac{500}{x - 500} \cdot 100\) процентов, и второе число на 5 больше первого. Составим уравнение, разделим обе его части на 5, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{500}{x - 500} \cdot 100 &= \frac{500}{x} \cdot 100 + 5; \qquad | : 5 \\ \frac{10\,000}{x - 500} &= \frac{10\,000}{x} + 1; \\ \frac{10\,000x - 10\,000(x - 500) - x(x - 500)}{x(x - 500)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 500x + 5\,000\,000}{x(x - 500)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 500x - 5\,000\,000}{x(x - 500)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - 500x - 5\,000\,000 &= 0; \\ D &= (-500)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5\,000\,000) = {} \\ &= 250\,000 + 20\,000\,000 = 20\,250\,000; \\ x_1 &= \frac{500 - \sqrt{20\,250\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{500 - 4500}{2} = -2000; \\ x_2 &= \frac{500 + \sqrt{20\,250\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{500 + 4500}{2} = 2500. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-2000\) и \(2500\). Знаменатель \(x(x - 500)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = 500\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако стоимость может быть только положительной, поэтому число \(-2000\) не подходит.
Таким образом, беспроводные наушники стоили 2500 рублей, а проводные — \(2500 - 500 = 2000\) рублей. Цена беспроводных наушников снизилась на \(\frac{500}{2500} \cdot 100 = 20\) процентов, а проводных — на \(\frac{500}{2000} \cdot 100 = 25\) процентов, то есть на 5 процентов больше.
Ответ: 2500 рублей.
