Страница 150 номер 727, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(C_1 - C_2 = 130\) р. — разность цен книги в первом и во втором магазинах
\(150\) р. — скидка по клубной карте в первом магазине
\(400\) р. — цена книги со скидкой во втором магазине
цена в обоих магазинах уменьшилась на одно и то же число процентов
Найти: \(C_1\) — цена книги в первом магазине.
Решение:
Пусть \(x\) р. — цена книги в первом магазине, тогда \((x - 130)\) р. — во втором.
\(x - 130 - 400 = x - 530\) (р.) — скидка во втором магазине.
Цена уменьшилась в первом магазине на \(\frac{150}{x} \cdot 100\) процентов, во втором — на \(\frac{x - 530}{x - 130} \cdot 100\) процентов, и эти числа равны: \[\begin{aligned} \frac{150}{x} \cdot 100 &= \frac{x - 530}{x - 130} \cdot 100; \qquad | : 100 \\ \frac{150}{x} &= \frac{x - 530}{x - 130}; \\ \frac{150(x - 130) - x(x - 530)}{x(x - 130)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 680x - 19\,500}{x(x - 130)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 680x + 19\,500}{x(x - 130)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - 680x + 19\,500 &= 0; \\ D &= (-680)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19\,500 = 462\,400 - 78\,000 = 384\,400; \\ x_1 &= \frac{680 - \sqrt{384\,400}}{2 \cdot 1} = \frac{680 - 620}{2} = 30; \\ x_2 &= \frac{680 + \sqrt{384\,400}}{2 \cdot 1} = \frac{680 + 620}{2} = 650. \end{aligned}\] Знаменатель \(x(x - 130)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = 130\), поэтому 30 и 650 — корни уравнения. Цена книги во втором магазине \(x - 130\) рублей может быть только положительной, поэтому \(x > 130\) и число 30 не подходит: книга в первом магазине стоит 650 рублей.
Ответ: 650 рублей.
Дано:
\(C_1 - C_2 = 130\) р. — разность цен книги в первом и во втором магазинах
\(150\) р. — скидка по клубной карте в первом магазине
\(400\) р. — цена книги со скидкой во втором магазине
цена в обоих магазинах уменьшилась на одно и то же число процентов
Найти: \(C_1\) — цена книги в первом магазине.
Решение:
Обозначим цену книги в первом магазине (в рублях) через \(x\). Тогда во втором магазине книга стоит \(x - 130\) рублей, а скидка по клубной карте там составляет \(x - 130 - 400 = x - 530\) рублей. В первом магазине цена уменьшилась на \(\frac{150}{x} \cdot 100\) процентов, а во втором — на \(\frac{x - 530}{x - 130} \cdot 100\) процентов, и эти числа равны. Составим уравнение, разделим обе его части на 100, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{150}{x} \cdot 100 &= \frac{x - 530}{x - 130} \cdot 100; \qquad | : 100 \\ \frac{150}{x} &= \frac{x - 530}{x - 130}; \\ \frac{150(x - 130) - x(x - 530)}{x(x - 130)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 680x - 19\,500}{x(x - 130)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 680x + 19\,500}{x(x - 130)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - 680x + 19\,500 &= 0; \\ D &= (-680)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19\,500 = 462\,400 - 78\,000 = 384\,400; \\ x_1 &= \frac{680 - \sqrt{384\,400}}{2 \cdot 1} = \frac{680 - 620}{2} = 30; \\ x_2 &= \frac{680 + \sqrt{384\,400}}{2 \cdot 1} = \frac{680 + 620}{2} = 650. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа 30 и 650. Знаменатель \(x(x - 130)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = 130\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако цена книги во втором магазине \(x - 130\) рублей может быть только положительной, поэтому \(x > 130\) и число 30 не подходит.
Таким образом, книга в первом магазине стоит 650 рублей. Во втором магазине она стоит \(650 - 130 = 520\) рублей, скидка там \(520 - 400 = 120\) рублей. В первом магазине цена уменьшилась на \(\frac{150}{650} = \frac{3}{13}\) своей величины, во втором — на \(\frac{120}{520} = \frac{3}{13}\), то есть на одно и то же число процентов.
Ответ: 650 рублей.
