Страница 150 номер 723, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(A = 108\) окон — работа каждого альпиниста
\(p_1 = p_2 + 18\) (окон в день) — производительности первого и второго альпинистов
\(t_2 - t_1 = 1\) день — первый выполнил работу на 1 день раньше второго

Найти: \(p_1\) и \(p_2\).

Решение:

Пусть первый альпинист мыл \(x\) окон в день, то есть \(p_1 = x\). Тогда производительность второго альпиниста \(p_2 = x - 18\) окон в день. Первый альпинист вымыл 108 окон за \(\frac{108}{x}\) дней, а второй — за \(\frac{108}{x - 18}\) дней. Поскольку первый альпинист выполнил работу на 1 день раньше второго, можно составить уравнение. Перенесём все его слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{108}{x - 18} - \frac{108}{x} &= 1; \\ \frac{108x - 108(x - 18) - x(x - 18)}{x(x - 18)} &= 0; \\ \frac{-x^2 + 18x + 1944}{x(x - 18)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{x^2 - 18x - 1944}{x(x - 18)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} x^2 - 18x - 1944 &= 0; \\ D &= (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1944) = 324 + 7776 = 8100; \\ x_1 &= \frac{18 - \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 90}{2} = -36; \\ x_2 &= \frac{18 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 90}{2} = 54. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-36\) и \(54\). Знаменатель \(x(x - 18)\) обращается в нуль только при \(x = 0\) и \(x = 18\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако производительность может быть только положительной, поэтому число \(-36\) не подходит.

Значит, первый альпинист мыл 54 окна в день, а второй альпинист мыл \(54 - 18 = 36\) окон в день. Первый вымыл все окна за \(108 : 54 = 2\) (дня), второй — за \(108 : 36 = 3\) (дня), на 1 день дольше.

Ответ: первый альпинист — 54 окна в день, второй — 36 окон в день.