Страница 150 номер 722, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(s = 32\) км — расстояние между турбазами по реке
\(t = 6\) ч — время рейса туда и обратно
\(v_{\text{теч}} = 4\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость лодки в стоячей воде.
Решение:
Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде, тогда \((v + 4)\) км/ч — скорость по течению, \((v - 4)\) км/ч — против течения.
\(\frac{32}{v + 4}\) ч — время по течению, \(\frac{32}{v - 4}\) ч — против течения, вместе 6 ч: \[\begin{aligned} \frac{32}{v + 4} + \frac{32}{v - 4} &= 6; \\ \frac{32(v - 4) + 32(v + 4) - 6(v + 4)(v - 4)}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \\ \frac{-6v^2 + 64v + 96}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \qquad | : (-2) \\ \frac{3v^2 - 32v - 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} 3v^2 - 32v - 48 &= 0; \\ D &= (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 1024 + 576 = 1600; \\ v_1 &= \frac{32 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{32 - 40}{6} = -\frac{4}{3}; \\ v_2 &= \frac{32 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{32 + 40}{6} = 12. \end{aligned}\] Знаменатель \((v + 4)(v - 4)\) обращается в нуль только при \(v = -4\) и \(v = 4\), поэтому \(-\frac{4}{3}\) и \(12\) — корни уравнения. Скорость может быть только положительной, поэтому число \(-\frac{4}{3}\) не подходит. Число 12 больше скорости течения 4, значит, лодка действительно может идти против течения; скорость лодки в стоячей воде — 12 км/ч.
Ответ: 12 км/ч.
Дано:
\(s = 32\) км — расстояние между турбазами по реке
\(t = 6\) ч — время рейса туда и обратно
\(v_{\text{теч}} = 4\) км/ч — скорость течения
Найти: \(v\) — скорость лодки в стоячей воде.
Решение:
Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде (в км/ч) через \(v\). Тогда по течению лодка идёт со скоростью \((v + 4)\) км/ч и проходит путь между турбазами за \(\frac{32}{v + 4}\) часа, а против течения — со скоростью \((v - 4)\) км/ч и за \(\frac{32}{v - 4}\) часа. По условию на рейс туда и обратно лодка затрачивает 6 часов. Составим уравнение, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и разделим обе части на \(-2\): \[\begin{aligned} \frac{32}{v + 4} + \frac{32}{v - 4} &= 6; \\ \frac{32(v - 4) + 32(v + 4) - 6(v + 4)(v - 4)}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \\ \frac{-6v^2 + 64v + 96}{(v + 4)(v - 4)} &= 0; \qquad | : (-2) \\ \frac{3v^2 - 32v - 48}{(v + 4)(v - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} 3v^2 - 32v - 48 &= 0; \\ D &= (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 1024 + 576 = 1600; \\ v_1 &= \frac{32 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{32 - 40}{6} = -\frac{4}{3}; \\ v_2 &= \frac{32 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{32 + 40}{6} = 12. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-\frac{4}{3}\) и \(12\). Знаменатель \((v + 4)(v - 4)\) обращается в нуль только при \(v = -4\) и \(v = 4\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-\frac{4}{3}\) не подходит. Число 12 больше скорости течения 4, значит, лодка действительно может идти против течения.
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч. По течению лодка идёт со скоростью \(12 + 4 = 16\) (км/ч) и проходит 32 км за \(32 : 16 = 2\) (ч), против течения — со скоростью \(12 - 4 = 8\) (км/ч) и за \(32 : 8 = 4\) (ч); всего \(2 + 4 = 6\) (ч).
Ответ: 12 км/ч.
