Страница 139 номер 694, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2 = \dfrac{x-10}{x+1}\); б) \(\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2 + 6\left(\dfrac{x+1}{x}\right) - 7 = 0\).
а) Общий знаменатель — \((x + 1)^2\):
\[\begin{aligned} \frac{(x + 2)^2}{(x + 1)^2} - \frac{x - 10}{x + 1} &= 0; \\ \frac{(x + 2)^2 - (x - 10)(x + 1)}{(x + 1)^2} &= 0; \\ \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9x + 10}{(x + 1)^2} &= 0; \\ \frac{13x + 14}{(x + 1)^2} &= 0. \end{aligned}\]
Корень числителя: \(13x + 14 = 0\);
\(13x = -14\);
\(x = -\frac{14}{13}\). При этом значении \(x\) знаменатель \(x + 1\) дробей исходного уравнения равен \(-\frac{14}{13} + 1 = -\frac{1}{13}\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень \(-\frac{14}{13}\).
б) Обозначим \(\frac{x + 1}{x} = t\), тогда \(t^2 + 6t - 7 = 0\). Корни этого уравнения — числа \(-7\) и 1: \(-7 + 1 = -6\), \((-7) \cdot 1 = -7\).
При \(t = 1\) получаем уравнение \(\frac{x + 1}{x} = 1\), равносильное системе \[\begin{cases} x + 1 = x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Уравнение \(x + 1 = x\) корней не имеет: при любом \(x\) его левая часть на 1 больше правой.
При \(t = -7\) получаем уравнение \(\frac{x + 1}{x} = -7\), равносильное системе \[\begin{cases} x + 1 = -7x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} x + 1 &= -7x; \\ x + 7x &= -1; \\ 8x &= -1; \qquad | : 8 \\ x &= -\frac{1}{8} = -0{,}125. \end{aligned}\] Число \(-0{,}125\) не равно нулю, поэтому оно является корнем исходного уравнения.
Ответ: а) \(-\frac{14}{13}\); б) \(-0{,}125\).
Решите уравнение: а) \(\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2 = \dfrac{x-10}{x+1}\); б) \(\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2 + 6\left(\dfrac{x+1}{x}\right) - 7 = 0\).
а) Возведём дробь в левой части в квадрат, перенесём дробь из правой части в левую и приведём дроби к общему знаменателю \((x + 1)^2\):
\[\begin{aligned} \frac{(x + 2)^2}{(x + 1)^2} - \frac{x - 10}{x + 1} &= 0; \\ \frac{(x + 2)^2 - (x - 10)(x + 1)}{(x + 1)^2} &= 0; \\ \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9x + 10}{(x + 1)^2} &= 0; \\ \frac{13x + 14}{(x + 1)^2} &= 0. \end{aligned}\]
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Корень числителя: \(13x + 14 = 0\);
\(13x = -14\);
\(x = -\frac{14}{13}\). При этом значении \(x\) знаменатель \(x + 1\) дробей исходного уравнения равен \(-\frac{14}{13} + 1 = -\frac{1}{13}\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень \(-\frac{14}{13}\).
б) Обозначим выражение \(\frac{x + 1}{x}\) новой переменной \(t\). Тогда исходное уравнение принимает вид \(t^2 + 6t - 7 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, его корнями являются числа \(-7\) и 1: \(-7 + 1 = -6\), \((-7) \cdot 1 = -7\).
При \(t = 1\) получаем уравнение \(\frac{x + 1}{x} = 1\), равносильное системе \[\begin{cases} x + 1 = x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Уравнение \(x + 1 = x\) корней не имеет: при любом \(x\) его левая часть на 1 больше правой. Значит, при \(t = 1\) корней нет.
При \(t = -7\) получаем уравнение \(\frac{x + 1}{x} = -7\), равносильное системе \[\begin{cases} x + 1 = -7x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а число — в правую, и разделим обе части на 8: \[\begin{aligned} x + 1 &= -7x; \\ x + 7x &= -1; \\ 8x &= -1; \qquad | : 8 \\ x &= -\frac{1}{8} = -0{,}125. \end{aligned}\] Число \(-0{,}125\) не равно нулю, поэтому оно является корнем исходного уравнения.
Ответ: а) \(-\frac{14}{13}\); б) \(-0{,}125\).
