Страница 139 номер 691, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x-12}{x-2} = -\dfrac{9}{x}\); б) \(\dfrac{x^2+3}{7x+3} = \dfrac{x-1}{4}\).
а) Общий знаменатель — \(x(x - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{x - 12}{x - 2} + \frac{9}{x} &= 0; \\ \frac{x(x - 12) + 9(x - 2)}{x(x - 2)} &= 0; \\ \frac{x^2 - 12x + 9x - 18}{x(x - 2)} &= 0; \\ \frac{x^2 - 3x - 18}{x(x - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя \(x^2 - 3x - 18\) — числа \(-3\) и 6: \(-3 + 6 = 3\), \((-3) \cdot 6 = -18\).
Знаменатели исходного уравнения \(x - 2\) и \(x\) при \(x = -3\) равны \(-5\) и \(-3\), а при \(x = 6\) — 4 и 6, то есть не обращаются в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
б) Общий знаменатель — \(4(7x + 3)\): \[\begin{aligned} \frac{x^2 + 3}{7x + 3} - \frac{x - 1}{4} &= 0; \\ \frac{4(x^2 + 3) - (x - 1)(7x + 3)}{4(7x + 3)} &= 0; \\ \frac{4x^2 + 12 - 7x^2 - 3x + 7x + 3}{4(7x + 3)} &= 0; \\ \frac{-3x^2 + 4x + 15}{4(7x + 3)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} -3x^2 + 4x + 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 3x^2 - 4x - 15 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 14}{6} = -\frac{5}{3}; \\ x_2 &= \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = 3. \end{aligned}\] Знаменатель \(7x + 3\) при \(x = -\frac{5}{3}\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + 3 = -\frac{26}{3}\), а при \(x = 3\) равен \(7 \cdot 3 + 3 = 24\), то есть не обращается в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ: а) \(-3\); \(6\); б) \(-\frac{5}{3}\); \(3\).
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x-12}{x-2} = -\dfrac{9}{x}\); б) \(\dfrac{x^2+3}{7x+3} = \dfrac{x-1}{4}\).
а) Перенесём дробь из правой части уравнения в левую и приведём дроби к общему знаменателю \(x(x - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{x - 12}{x - 2} + \frac{9}{x} &= 0; \\ \frac{x(x - 12) + 9(x - 2)}{x(x - 2)} &= 0; \\ \frac{x^2 - 12x + 9x - 18}{x(x - 2)} &= 0; \\ \frac{x^2 - 3x - 18}{x(x - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 3x - 18 = 0\) являются числа \(-3\) и 6: \(-3 + 6 = 3\), \((-3) \cdot 6 = -18\).
Знаменатели исходного уравнения \(x - 2\) и \(x\) при \(x = -3\) равны \(-5\) и \(-3\), а при \(x = 6\) — 4 и 6, то есть не обращаются в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
б) Перенесём дробь из правой части уравнения в левую и приведём дроби к общему знаменателю \(4(7x + 3)\): \[\begin{aligned} \frac{x^2 + 3}{7x + 3} - \frac{x - 1}{4} &= 0; \\ \frac{4(x^2 + 3) - (x - 1)(7x + 3)}{4(7x + 3)} &= 0; \\ \frac{4x^2 + 12 - 7x^2 - 3x + 7x + 3}{4(7x + 3)} &= 0; \\ \frac{-3x^2 + 4x + 15}{4(7x + 3)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: умножим обе части уравнения \(-3x^2 + 4x + 15 = 0\) на \(-1\) и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} -3x^2 + 4x + 15 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ 3x^2 - 4x - 15 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 14}{6} = -\frac{5}{3}; \\ x_2 &= \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = 3. \end{aligned}\] Знаменатель \(7x + 3\) при \(x = -\frac{5}{3}\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + 3 = -\frac{26}{3}\), а при \(x = 3\) равен \(7 \cdot 3 + 3 = 24\), то есть не обращается в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ: а) \(-3\); \(6\); б) \(-\frac{5}{3}\); \(3\).
