Страница 139 номер 689, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(1 - \dfrac{2x+9}{x+3} = 0\); б) \(\dfrac{y^2}{y^2-3y} = \dfrac{3(9-4y)}{y(3-y)}\).
а) Общий знаменатель — \(x + 3\): \[\begin{aligned} 1 - \frac{2x + 9}{x + 3} &= 0; \\ \frac{x + 3 - (2x + 9)}{x + 3} &= 0; \\ \frac{x + 3 - 2x - 9}{x + 3} &= 0; \\ \frac{-x - 6}{x + 3} &= 0. \end{aligned}\] Корень числителя: \(-x - 6 = 0\) при \(x = -6\). При этом значении \(x\) знаменатель \(x + 3\) равен \(-3\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-6\).
б) \(y^2 - 3y = y(y - 3)\) и \(3 - y = -(y - 3)\), поэтому \(\frac{3(9 - 4y)}{y(3 - y)} = -\frac{3(9 - 4y)}{y(y - 3)}\). Общий знаменатель — \(y(y - 3)\): \[\begin{aligned} \frac{y^2}{y(y - 3)} + \frac{3(9 - 4y)}{y(y - 3)} &= 0; \\ \frac{y^2 + 27 - 12y}{y(y - 3)} &= 0; \\ \frac{y^2 - 12y + 27}{y(y - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя \(y^2 - 12y + 27\) — числа 3 и 9: \(3 + 9 = 12\), \(3 \cdot 9 = 27\).
При \(y = 3\) знаменатель \(y(y - 3)\) обращается в нуль, значит, 3 не является корнем исходного уравнения. При \(y = 9\) знаменатели исходного уравнения \(y^2 - 3y\) и \(y(3 - y)\) равны \(81 - 27 = 54\) и \(9 \cdot (-6) = -54\), то есть не обращаются в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень 9.
Ответ: а) \(-6\); б) \(9\).
Решите уравнение: а) \(1 - \dfrac{2x+9}{x+3} = 0\); б) \(\dfrac{y^2}{y^2-3y} = \dfrac{3(9-4y)}{y(3-y)}\).
а) Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю \(x + 3\): \[\begin{aligned} 1 - \frac{2x + 9}{x + 3} &= 0; \\ \frac{x + 3 - (2x + 9)}{x + 3} &= 0; \\ \frac{x + 3 - 2x - 9}{x + 3} &= 0; \\ \frac{-x - 6}{x + 3} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Корнем числителя является число \(-6\): \(-x - 6 = 0\) при \(x = -6\). При этом значении \(x\) знаменатель \(x + 3\) равен \(-3\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-6\).
б) Заметим, что \(y^2 - 3y = y(y - 3)\) и \(3 - y = -(y - 3)\), поэтому \(\frac{3(9 - 4y)}{y(3 - y)} = -\frac{3(9 - 4y)}{y(y - 3)}\). Перенесём дробь из правой части уравнения в левую и приведём дроби к общему знаменателю \(y(y - 3)\): \[\begin{aligned} \frac{y^2}{y(y - 3)} + \frac{3(9 - 4y)}{y(y - 3)} &= 0; \\ \frac{y^2 + 27 - 12y}{y(y - 3)} &= 0; \\ \frac{y^2 - 12y + 27}{y(y - 3)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(y^2 - 12y + 27 = 0\) являются числа 3 и 9: \(3 + 9 = 12\), \(3 \cdot 9 = 27\). Значит, корни числителя — числа 3 и 9.
При \(y = 3\) знаменатель \(y(y - 3)\) обращается в нуль, значит, 3 не является корнем исходного уравнения. При \(y = 9\) знаменатели исходного уравнения \(y^2 - 3y\) и \(y(3 - y)\) равны \(81 - 27 = 54\) и \(9 \cdot (-6) = -54\), то есть не обращаются в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень 9.
Ответ: а) \(-6\); б) \(9\).
