Страница 140 номер 700, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\dfrac{7}{x-6} + \dfrac{25}{x+6} = 4\).
Общий знаменатель — \((x - 6)(x + 6)\): \[\begin{aligned} \frac{7}{x - 6} + \frac{25}{x + 6} - 4 &= 0; \\ \frac{7(x + 6) + 25(x - 6) - 4(x - 6)(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{7x + 42 + 25x - 150 - 4x^2 + 144}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{-4x^2 + 32x + 36}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{-4(x^2 - 8x - 9)}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{x^2 - 8x - 9}{(x - 6)(x + 6)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя \(x^2 - 8x - 9\) — числа \(-1\) и 9: \(-1 + 9 = 8\), \((-1) \cdot 9 = -9\). Они не являются корнями знаменателя: при \(x = -1\) он равен \((-7) \cdot 5 = -35\), а при \(x = 9\) равен \(3 \cdot 15 = 45\).
Ответ: \(-1\); \(9\).
Решите уравнение \(\dfrac{7}{x-6} + \dfrac{25}{x+6} = 4\).
Перенесём число 4 в левую часть уравнения, приведём все слагаемые к общему знаменателю \((x - 6)(x + 6)\), вынесем в числителе множитель \(-4\) за скобки и разделим обе части на \(-4\): \[\begin{aligned} \frac{7}{x - 6} + \frac{25}{x + 6} - 4 &= 0; \\ \frac{7(x + 6) + 25(x - 6) - 4(x - 6)(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{7x + 42 + 25x - 150 - 4x^2 + 144}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{-4x^2 + 32x + 36}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \\ \frac{-4(x^2 - 8x - 9)}{(x - 6)(x + 6)} &= 0; \qquad | : (-4) \\ \frac{x^2 - 8x - 9}{(x - 6)(x + 6)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 8x - 9 = 0\) являются числа \(-1\) и 9: \(-1 + 9 = 8\), \((-1) \cdot 9 = -9\). Они не являются корнями знаменателя: при \(x = -1\) он равен \((-7) \cdot 5 = -35\), а при \(x = 9\) равен \(3 \cdot 15 = 45\).
Ответ: \(-1\); \(9\).
