Страница 133 номер 675, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Равенство является тождеством, если его части равны при всех допустимых значениях переменной; если при каком-то значении обе части определены и различны, равенство тождеством не является.
1) \[\frac{(x - 9)^2}{x(x - 9)} = \frac{(x - 9)(x - 9)}{x(x - 9)} = \frac{x - 9}{x}.\] При всех значениях \(x\), при которых обе части равенства имеют смысл, их значения равны; значение \(x = 9\), при котором левая часть смысла не имеет, а правая равна нулю, не рассматривается. Значит, равенство 1) — тождество.
2) \[\frac{(x - 8)^2}{x - 8} = \frac{(x - 8)(x - 8)}{x - 8} = x - 8.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 2) — тождество.
3) \[\frac{x(x - 9)}{(x - 9)^2} = \frac{x(x - 9)}{(x - 9)(x - 9)} = \frac{x}{x - 9}.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 3) — тождество.
4) Обе части равенства определены при любом значении \(x\). При \(x = 1\) левая часть равна \(1 + \frac{5}{7} = \frac{12}{7}\), а правая — \(\frac{1 + 5}{7} = \frac{6}{7}\). Значения различны, значит, равенство 4) не является тождеством.
5) Общий знаменатель — \(7(x - 7)\): \[\frac{x - 2}{x - 7} + \frac{x}{7} = \frac{7(x - 2) + x(x - 7)}{7(x - 7)} = \frac{7x - 14 + x^2 - 7x}{7(x - 7)} = \frac{x^2 - 14}{7(x - 7)}.\] При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{1^2 - 14}{7 \cdot (1 - 7)} = \frac{-13}{-42} = \frac{13}{42}\), а правая — \(\frac{14 \cdot 1 - 1^2 - 14}{7 \cdot (1 - 7)} = \frac{-1}{-42} = \frac{1}{42}\). Значения различны, значит, равенство 5) не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(\frac{(x - 9)^2}{x(x - 9)} = \frac{x - 9}{x}\), 2) \(\frac{(x - 8)^2}{x - 8} = x - 8\) и 3) \(\frac{x(x - 9)}{(x - 9)^2} = \frac{x}{x - 9}\).
Равенство является тождеством, если его части принимают равные значения при всех допустимых значениях переменной, то есть при всех значениях, при которых обе части имеют смысл. Если найдётся хотя бы одно значение переменной, при котором обе части определены и принимают различные значения, то равенство тождеством не является.
1) Сократим дробь левой части на общий множитель \(x - 9\): \[\frac{(x - 9)^2}{x(x - 9)} = \frac{(x - 9)(x - 9)}{x(x - 9)} = \frac{x - 9}{x}.\] Сокращение дроби — тождественное преобразование: при всех значениях \(x\), при которых обе части равенства имеют смысл, их значения равны. Значение \(x = 9\), при котором левая часть смысла не имеет, а правая равна нулю, при этом не рассматривается. Значит, равенство 1) — тождество.
2) Сократим дробь левой части на общий множитель \(x - 8\): \[\frac{(x - 8)^2}{x - 8} = \frac{(x - 8)(x - 8)}{x - 8} = x - 8.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 2) — тождество.
3) Сократим дробь левой части на общий множитель \(x - 9\): \[\frac{x(x - 9)}{(x - 9)^2} = \frac{x(x - 9)}{(x - 9)(x - 9)} = \frac{x}{x - 9}.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 3) — тождество.
4) Обе части равенства определены при любом значении \(x\). При \(x = 1\) левая часть равна \(1 + \frac{5}{7} = \frac{12}{7}\), а правая — \(\frac{1 + 5}{7} = \frac{6}{7}\). Значения различны, значит, равенство 4) не является тождеством.
5) Выполним сложение в левой части, приведя дроби к общему знаменателю \(7(x - 7)\): \[\frac{x - 2}{x - 7} + \frac{x}{7} = \frac{7(x - 2) + x(x - 7)}{7(x - 7)} = \frac{7x - 14 + x^2 - 7x}{7(x - 7)} = \frac{x^2 - 14}{7(x - 7)}.\] При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{1^2 - 14}{7 \cdot (1 - 7)} = \frac{-13}{-42} = \frac{13}{42}\), а правая — \(\frac{14 \cdot 1 - 1^2 - 14}{7 \cdot (1 - 7)} = \frac{-1}{-42} = \frac{1}{42}\). Значения различны, значит, равенство 5) не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(\frac{(x - 9)^2}{x(x - 9)} = \frac{x - 9}{x}\), 2) \(\frac{(x - 8)^2}{x - 8} = x - 8\) и 3) \(\frac{x(x - 9)}{(x - 9)^2} = \frac{x}{x - 9}\).
