Страница 141 номер 709, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\dfrac{(x+a)(x-1)}{x-9} = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (x + a)(x - 1) = 0, \\ x - 9 \neq 0. \end{cases}\] Корни числителя — \(-a\) и \(1\). Число \(1\) удовлетворяет неравенству \(x \neq 9\), поэтому при любом \(a\) оно — корень уравнения.
Корней два тогда и только тогда, когда число \(-a\) тоже является корнем и отлично от \(1\):
- корни числителя не совпадают: \(-a \neq 1\), откуда \(a \neq -1\);
- число \(-a\) не является корнем знаменателя: \(-a \neq 9\), откуда \(a \neq -9\).
Следовательно, \(a\) — любое число, кроме \(-9\) и \(-1\).
Проверка: при \(a = -1\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 1)^2}{x - 9} = 0\) и имеет единственный корень \(1\). При \(a = -9\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 9)(x - 1)}{x - 9} = 0\): корень числителя \(9\) обращает знаменатель в нуль, и корень снова один — \(1\). При \(a = 0\) уравнение \(\frac{x(x - 1)}{x - 9} = 0\) имеет два корня: \(0\) и \(1\).
Ответ: \(a\) — любое число, кроме \(-9\) и \(-1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\dfrac{(x+a)(x-1)}{x-9} = 0\) имеет два различных корня?
Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (x + a)(x - 1) = 0, \\ x - 9 \neq 0. \end{cases}\] Корнями уравнения \((x + a)(x - 1) = 0\) являются числа \(-a\) и \(1\). Число \(1\) удовлетворяет неравенству \(x \neq 9\), поэтому при любом значении \(a\) оно является корнем исходного уравнения.
Исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда число \(-a\) тоже является его корнем и отлично от числа \(1\), то есть выполнены два условия:
- корни числителя не совпадают: \(-a \neq 1\), откуда \(a \neq -1\);
- число \(-a\) не является корнем знаменателя, то есть удовлетворяет неравенству \(x \neq 9\): \(-a \neq 9\), откуда \(a \neq -9\).
Следовательно, \(a\) может быть любым числом, кроме \(-9\) и \(-1\).
Проверка: при \(a = -1\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 1)^2}{x - 9} = 0\) и имеет единственный корень \(1\). При \(a = -9\) уравнение принимает вид \(\frac{(x - 9)(x - 1)}{x - 9} = 0\): корень числителя \(9\) обращает знаменатель в нуль, и корень снова один — число \(1\). При другом значении параметра, например при \(a = 0\), уравнение \(\frac{x(x - 1)}{x - 9} = 0\) имеет два корня: \(0\) и \(1\).
Ответ: \(a\) — любое число, кроме \(-9\) и \(-1\).
