Страница 139 номер 690, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения переменной \(y\), при которых сумма дробей \(\frac{y}{y - 7}\) и \(\frac{6}{y - 1}\) равна их произведению.
По условию \[\frac{y}{y - 7} + \frac{6}{y - 1} = \frac{y}{y - 7} \cdot \frac{6}{y - 1}.\] Произведение дробей в правой части равно \(\frac{6y}{(y - 7)(y - 1)}\); общий знаменатель — \((y - 7)(y - 1)\): \[\begin{aligned} \frac{y}{y - 7} + \frac{6}{y - 1} - \frac{6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y(y - 1) + 6(y - 7) - 6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y^2 - y + 6y - 42 - 6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y^2 - y - 42}{(y - 7)(y - 1)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя \(y^2 - y - 42\) — числа \(-6\) и 7: \(-6 + 7 = 1\), \((-6) \cdot 7 = -42\).
При \(y = 7\) знаменатель \((y - 7)(y - 1)\) обращается в нуль (дробь \(\frac{y}{y - 7}\) при этом значении не имеет смысла), значит, 7 не является корнем уравнения. При \(y = -6\) знаменатель равен \((-13) \cdot (-7) = 91\) и не обращается в нуль. Следовательно, сумма дробей равна их произведению только при \(y = -6\).
Ответ: \(-6\).
Найдите все значения переменной \(y\), при которых сумма дробей \(\frac{y}{y - 7}\) и \(\frac{6}{y - 1}\) равна их произведению.
Составим уравнение по условию: \[\frac{y}{y - 7} + \frac{6}{y - 1} = \frac{y}{y - 7} \cdot \frac{6}{y - 1}.\] Произведение дробей в правой части равно \(\frac{6y}{(y - 7)(y - 1)}\). Перенесём его в левую часть уравнения и приведём дроби к общему знаменателю \((y - 7)(y - 1)\): \[\begin{aligned} \frac{y}{y - 7} + \frac{6}{y - 1} - \frac{6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y(y - 1) + 6(y - 7) - 6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y^2 - y + 6y - 42 - 6y}{(y - 7)(y - 1)} &= 0; \\ \frac{y^2 - y - 42}{(y - 7)(y - 1)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(y^2 - y - 42 = 0\) являются числа \(-6\) и 7: \(-6 + 7 = 1\), \((-6) \cdot 7 = -42\).
При \(y = 7\) знаменатель \((y - 7)(y - 1)\) обращается в нуль (дробь \(\frac{y}{y - 7}\) при этом значении не имеет смысла), значит, 7 не является корнем уравнения. При \(y = -6\) знаменатель равен \((-13) \cdot (-7) = 91\) и не обращается в нуль. Следовательно, сумма дробей равна их произведению только при \(y = -6\).
Ответ: \(-6\).
