Страница 139 номер 687, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{-x^2-8x-19}{x^2-9} = 0\); б) \(\dfrac{3x-1}{7x-8} = \dfrac{3}{8}\); в) \(\dfrac{3x^2+6}{2x^2+1} = 2\).
а) Корни числителя: \[\begin{aligned} -x^2 - 8x - 19 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 64 - 76 = -12. \end{aligned}\] Дискриминант отрицателен, значит, числитель не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
б) \[\begin{aligned} 8(3x - 1) &= 3(7x - 8); \\ 24x - 8 &= 21x - 24; \\ 24x - 21x &= -24 + 8; \\ 3x &= -16; \qquad | : 3 \\ x &= -\frac{16}{3}. \end{aligned}\] При \(x = -\frac{16}{3}\) знаменатель \(7x - 8\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{16}{3}\right) - 8 = -\frac{112}{3} - 8 = -\frac{136}{3}\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень \(-\frac{16}{3}\).
в) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x^2 + 6 = 2(2x^2 + 1), \\ 2x^2 + 1 \neq 0. \end{cases}\] Так как \(x^2 \geqslant 0\), знаменатель \(2x^2 + 1\) положителен при всех \(x\), поэтому условие \(2x^2 + 1 \neq 0\) выполняется при любом \(x\). \[\begin{aligned} 3x^2 + 6 &= 2(2x^2 + 1); \\ 3x^2 + 6 &= 4x^2 + 2; \\ 3x^2 - 4x^2 &= 2 - 6; \\ -x^2 &= -4; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 &= 4. \end{aligned}\] Следовательно, \(x = -2\) или \(x = 2\), и оба числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ: а) решений нет; б) \(-\frac{16}{3}\); в) \(-2\); \(2\).
Решите уравнение: а) \(\dfrac{-x^2-8x-19}{x^2-9} = 0\); б) \(\dfrac{3x-1}{7x-8} = \dfrac{3}{8}\); в) \(\dfrac{3x^2+6}{2x^2+1} = 2\).
а) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя — решим уравнение \(-x^2 - 8x - 19 = 0\): \[D = (-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 64 - 76 = -12.\] Дискриминант отрицателен, значит, числитель не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
б) Применим основное свойство пропорции и решим уравнение \(8(3x - 1) = 3(7x - 8)\): раскроем скобки, перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую, и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} 8(3x - 1) &= 3(7x - 8); \\ 24x - 8 &= 21x - 24; \\ 24x - 21x &= -24 + 8; \\ 3x &= -16; \qquad | : 3 \\ x &= -\frac{16}{3}. \end{aligned}\] При \(x = -\frac{16}{3}\) знаменатель \(7x - 8\) равен \(7 \cdot \left(-\frac{16}{3}\right) - 8 = -\frac{112}{3} - 8 = -\frac{136}{3}\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень \(-\frac{16}{3}\).
в) Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x^2 + 6 = 2(2x^2 + 1), \\ 2x^2 + 1 \neq 0. \end{cases}\] Так как \(x^2 \geqslant 0\), знаменатель \(2x^2 + 1\) положителен при всех значениях \(x\), поэтому условие \(2x^2 + 1 \neq 0\) выполняется при любом \(x\) и достаточно решить уравнение системы. Раскроем скобки, перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую, и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} 3x^2 + 6 &= 2(2x^2 + 1); \\ 3x^2 + 6 &= 4x^2 + 2; \\ 3x^2 - 4x^2 &= 2 - 6; \\ -x^2 &= -4; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 &= 4. \end{aligned}\] Следовательно, \(x = -2\) или \(x = 2\), и оба числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ: а) решений нет; б) \(-\frac{16}{3}\); в) \(-2\); \(2\).
