Страница 134 номер 682, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 3 = 0\); б) \(-x^2 - 4x - 3 = 0\); в) \(-16x + 17 - x^2 = 0\).
а) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -3\). \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-2 - 4}{2} = -3; \\ x &= \frac{-2 + 4}{2} = 1. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} -x^2 - 4x - 3 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 4x + 3 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 3\). \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x &= \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} -16x + 17 - x^2 &= 0; \\ -x^2 - 16x + 17 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 16x - 17 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 16\) и \(c = -17\). \[D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(324 = 18^2\), поэтому \(\sqrt{D} = 18\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-16 - 18}{2} = -17; \\ x &= \frac{-16 + 18}{2} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-3\); \(1\); б) \(-3\); \(-1\); в) \(-17\); \(1\).
Решите уравнение: а) \(x^2 + 2x - 3 = 0\); б) \(-x^2 - 4x - 3 = 0\); в) \(-16x + 17 - x^2 = 0\).
а) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -3\). \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-2 - 4}{2} = -3; \\ x &= \frac{-2 + 4}{2} = 1. \end{aligned}\]
б) Умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы старший коэффициент стал положительным: \[\begin{aligned} -x^2 - 4x - 3 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 4x + 3 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 3\). \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-4 - 2}{2} = -3; \\ x &= \frac{-4 + 2}{2} = -1. \end{aligned}\]
в) Запишем слагаемые в порядке убывания степеней переменной и умножим обе части уравнения на \(-1\): \[\begin{aligned} -16x + 17 - x^2 &= 0; \\ -x^2 - 16x + 17 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 16x - 17 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 16\) и \(c = -17\). \[D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(324 = 18^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 18\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-16 - 18}{2} = -17; \\ x &= \frac{-16 + 18}{2} = 1. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-3\); \(1\); б) \(-3\); \(-1\); в) \(-17\); \(1\).
