Страница 149 номер 718, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(v = 18\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде
\(s_1 = 86\) км — путь по течению
\(s_2 = 58\) км — путь против течения
\(t_1 = t_2\) — время движения по течению и против течения

Найти: \(v_{\text{теч}}\) — скорость течения реки.

Решение:

Обозначим скорость течения реки (в км/ч) через \(x\). Тогда скорость лодки по течению равна \((18 + x)\) км/ч, а против течения — \((18 - x)\) км/ч. Значит, по течению лодка шла \(\frac{86}{18 + x}\) часа, а против течения — \(\frac{58}{18 - x}\) часа. По условию эти времена равны. Составим уравнение, перенесём дробь из правой части в левую, приведём дроби к общему знаменателю и разделим обе части уравнения на 72: \[\begin{aligned} \frac{86}{18 + x} &= \frac{58}{18 - x}; \\ \frac{86}{18 + x} - \frac{58}{18 - x} &= 0; \\ \frac{86(18 - x) - 58(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} &= 0; \\ \frac{504 - 144x}{(18 + x)(18 - x)} &= 0; \qquad | : 72 \\ \frac{7 - 2x}{(18 + x)(18 - x)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель \(7 - 2x\) обращается в нуль при \(x = 3{,}5\), причём это число не является корнем знаменателя: знаменатель равен нулю только при \(x = -18\) и \(x = 18\). Значит, уравнение имеет единственный корень \(3{,}5\). Скорость течения \(3{,}5\) км/ч положительна и меньше собственной скорости лодки 18 км/ч, поэтому лодка действительно могла идти против течения.

Таким образом, скорость течения реки равна \(3{,}5\) км/ч. Тогда по течению лодка шла со скоростью \(18 + 3{,}5 = 21{,}5\) (км/ч), против течения — со скоростью \(18 - 3{,}5 = 14{,}5\) (км/ч), и за 4 часа она прошла бы по течению \(21{,}5 \cdot 4 = 86\) (км), а против течения — \(14{,}5 \cdot 4 = 58\) (км), то есть на оба пути ушло одинаковое время.

Ответ: \(3{,}5\) км/ч.