Страница 142 номер 711, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{9}{x+4} + \dfrac{7}{x-4} = 8\); б) \(\dfrac{x+11}{x-4} = \dfrac{2}{x}\); в) \(\dfrac{-x^2-4x-10}{x^2-36} = 0\).
а) Общий знаменатель — \((x + 4)(x - 4)\): \[\begin{aligned} \frac{9}{x + 4} + \frac{7}{x - 4} &= 8; \\ \frac{9(x - 4) + 7(x + 4) - 8(x + 4)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \\ \frac{9x - 36 + 7x + 28 - 8x^2 + 128}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \\ \frac{-8x^2 + 16x + 120}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \qquad | : (-8) \\ \frac{x^2 - 2x - 15}{(x + 4)(x - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.\] \(D > 0\), \(\sqrt{D} = 8\): \[\begin{aligned} x &= \frac{2 - 8}{2} = -3; \\ x &= \frac{2 + 8}{2} = 5. \end{aligned}\] При \(x = -3\) и \(x = 5\) знаменатель не обращается в нуль: \((-3 + 4)(-3 - 4) = -7\), \((5 + 4)(5 - 4) = 9\). Значит, уравнение имеет корни \(-3\) и \(5\).
б) Корнями исходного уравнения являются те корни уравнения \(x(x + 11) = 2(x - 4)\), при которых знаменатели \(x - 4\) и \(x\) не равны нулю: \[\begin{aligned} x(x + 11) &= 2(x - 4); \\ x^2 + 11x &= 2x - 8; \\ x^2 + 9x + 8 &= 0; \\ D &= 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49. \end{aligned}\] \(D > 0\), \(\sqrt{D} = 7\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-9 - 7}{2} = -8; \\ x &= \frac{-9 + 7}{2} = -1. \end{aligned}\] При \(x = -8\) знаменатели равны \(-8 - 4 = -12\) и \(-8\), при \(x = -1\) — \(-1 - 4 = -5\) и \(-1\); ни один из них не равен нулю. Значит, уравнение имеет корни \(-8\) и \(-1\).
в) Корни числителя: \[\begin{aligned} -x^2 - 4x - 10 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 4x + 10 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24. \end{aligned}\] \(D < 0\), значит, числитель не имеет корней, и уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(-3\); \(5\); б) \(-8\); \(-1\); в) решений нет.
Решите уравнение: а) \(\dfrac{9}{x+4} + \dfrac{7}{x-4} = 8\); б) \(\dfrac{x+11}{x-4} = \dfrac{2}{x}\); в) \(\dfrac{-x^2-4x-10}{x^2-36} = 0\).
а) Перенесём число 8 в левую часть уравнения, приведём все слагаемые к общему знаменателю \((x + 4)(x - 4)\) и разделим обе части получившегося уравнения на \(-8\): \[\begin{aligned} \frac{9}{x + 4} + \frac{7}{x - 4} &= 8; \\ \frac{9(x - 4) + 7(x + 4) - 8(x + 4)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \\ \frac{9x - 36 + 7x + 28 - 8x^2 + 128}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \\ \frac{-8x^2 + 16x + 120}{(x + 4)(x - 4)} &= 0; \qquad | : (-8) \\ \frac{x^2 - 2x - 15}{(x + 4)(x - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни числителя — решим уравнение \(x^2 - 2x - 15 = 0\): \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 8\): \[\begin{aligned} x &= \frac{2 - 8}{2} = -3; \\ x &= \frac{2 + 8}{2} = 5. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-3\) и \(5\). При этих значениях знаменатель не обращается в нуль: \((-3 + 4)(-3 - 4) = -7\), \((5 + 4)(5 - 4) = 9\). Значит, исходное уравнение имеет корни \(-3\) и \(5\).
б) Применим основное свойство пропорции: корнями исходного уравнения являются те корни уравнения \(x(x + 11) = 2(x - 4)\), при которых знаменатели \(x - 4\) и \(x\) не равны нулю. Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: \[\begin{aligned} x(x + 11) &= 2(x - 4); \\ x^2 + 11x &= 2x - 8; \\ x^2 + 9x + 8 &= 0; \\ D &= 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = 7\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-9 - 7}{2} = -8; \\ x &= \frac{-9 + 7}{2} = -1. \end{aligned}\] При \(x = -8\) знаменатели равны \(-8 - 4 = -12\) и \(-8\), при \(x = -1\) — \(-1 - 4 = -5\) и \(-1\); ни один из них не равен нулю. Значит, исходное уравнение имеет корни \(-8\) и \(-1\).
в) Корни числителя — корни уравнения \(-x^2 - 4x - 10 = 0\). Умножим обе его части на \(-1\): \[\begin{aligned} -x^2 - 4x - 10 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 + 4x + 10 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24. \end{aligned}\] Дискриминант отрицателен, значит, числитель не имеет корней, и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(-3\); \(5\); б) \(-8\); \(-1\); в) решений нет.
