Страница 139 номер 692, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение \(\dfrac{y-5}{(y-5)(y-4)} = y-4\).
Общий знаменатель — \((y - 5)(y - 4)\): \[\begin{aligned} \frac{y - 5}{(y - 5)(y - 4)} - (y - 4) &= 0; \\ \frac{y - 5 - (y - 4)^2(y - 5)}{(y - 5)(y - 4)} &= 0; \\ \frac{(y - 5)(1 - (y - 4)^2)}{(y - 5)(y - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Сокращать дробь на \(y - 5\) нельзя: этот многочлен имеет корень 5, и сокращение изменило бы набор корней уравнения.
\(1 - (y - 4)^2 = (1 - (y - 4))(1 + (y - 4)) = (5 - y)(y - 3)\). Числитель \((y - 5)(5 - y)(y - 3)\) равен нулю при \(y = 5\) и при \(y = 3\).
При \(y = 5\) знаменатель \((y - 5)(y - 4)\) обращается в нуль, значит, 5 не является корнем исходного уравнения. При \(y = 3\) знаменатель равен \((3 - 5) \cdot (3 - 4) = 2\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень 3.
Ответ: \(3\).
Решите уравнение \(\dfrac{y-5}{(y-5)(y-4)} = y-4\).
Перенесём выражение \(y - 4\) в левую часть уравнения, приведём к общему знаменателю \((y - 5)(y - 4)\) и вынесем в числителе общий множитель \(y - 5\) за скобки: \[\begin{aligned} \frac{y - 5}{(y - 5)(y - 4)} - (y - 4) &= 0; \\ \frac{y - 5 - (y - 4)^2(y - 5)}{(y - 5)(y - 4)} &= 0; \\ \frac{(y - 5)(1 - (y - 4)^2)}{(y - 5)(y - 4)} &= 0. \end{aligned}\] Сокращать дробь на \(y - 5\) нельзя: этот многочлен имеет корень 5, и сокращение изменило бы набор корней уравнения.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Разложим выражение \(1 - (y - 4)^2\) на множители по формуле разности квадратов: \(1 - (y - 4)^2 = (1 - (y - 4))(1 + (y - 4)) = (5 - y)(y - 3)\). Числитель \((y - 5)(5 - y)(y - 3)\) равен нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть при \(y = 5\) и при \(y = 3\).
При \(y = 5\) знаменатель \((y - 5)(y - 4)\) обращается в нуль, значит, 5 не является корнем исходного уравнения. При \(y = 3\) знаменатель равен \((3 - 5) \cdot (3 - 4) = 2\) и не обращается в нуль. Следовательно, исходное уравнение имеет корень 3.
Ответ: \(3\).
