Страница 149 номер 719, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На физкультуре сдавали норматив 100 м. Петя пробежал это расстояние на 5 секунд быстрее, чем Вася. При этом скорость Пети была на 100 м/мин больше, чем скорость Васи. Чему равна скорость Васи?
Дано:
\(s = 100\) м — дистанция
\(t_{\text{В}} - t_{\text{П}} = 5\) с — Петя пробежал дистанцию на 5 с быстрее Васи
\(v_{\text{П}} = v_{\text{В}} + 100\) (м/мин) — скорости Пети и Васи
Найти: \(v_{\text{В}}\) — скорость Васи.
Решение:
Скорости даны в метрах в минуту, поэтому 5 с — это \(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) мин.
Пусть \(v\) м/мин — скорость Васи, тогда \((v + 100)\) м/мин — скорость Пети.
\(\frac{100}{v}\) мин — время Васи, \(\frac{100}{v + 100}\) мин — время Пети, на \(\frac{1}{12}\) мин меньше: \[\begin{aligned} \frac{100}{v} - \frac{100}{v + 100} &= \frac{1}{12}; \qquad | \cdot 12 \\ \frac{1200}{v} - \frac{1200}{v + 100} &= 1; \\ \frac{1200(v + 100) - 1200v - v(v + 100)}{v(v + 100)} &= 0; \\ \frac{-v^2 - 100v + 120\,000}{v(v + 100)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{v^2 + 100v - 120\,000}{v(v + 100)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} v^2 + 100v - 120\,000 &= 0; \\ D &= 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120\,000) = 10\,000 + 480\,000 = 490\,000; \\ v_1 &= \frac{-100 - \sqrt{490\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 - 700}{2} = -400; \\ v_2 &= \frac{-100 + \sqrt{490\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 + 700}{2} = 300. \end{aligned}\] Знаменатель \(v(v + 100)\) обращается в нуль только при \(v = 0\) и \(v = -100\), поэтому \(-400\) и \(300\) — корни уравнения. Скорость может быть только положительной, поэтому число \(-400\) не подходит: скорость Васи — 300 м/мин.
Ответ: 300 м/мин.
На физкультуре сдавали норматив 100 м. Петя пробежал это расстояние на 5 секунд быстрее, чем Вася. При этом скорость Пети была на 100 м/мин больше, чем скорость Васи. Чему равна скорость Васи?
Дано:
\(s = 100\) м — дистанция
\(t_{\text{В}} - t_{\text{П}} = 5\) с — Петя пробежал дистанцию на 5 с быстрее Васи
\(v_{\text{П}} = v_{\text{В}} + 100\) (м/мин) — скорости Пети и Васи
Найти: \(v_{\text{В}}\) — скорость Васи.
Решение:
Скорости даны в метрах в минуту, поэтому время тоже выразим в минутах: 5 с — это \(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\) мин.
Обозначим скорость Васи (в м/мин) через \(v\). Тогда скорость Пети равна \((v + 100)\) м/мин. Значит, Вася пробежал 100 м за \(\frac{100}{v}\) мин, а Петя — за \(\frac{100}{v + 100}\) мин, что на \(\frac{1}{12}\) мин меньше. Составим уравнение, умножим обе его части на 12, перенесём все слагаемые в левую часть, приведём их к общему знаменателю и умножим обе части на \(-1\): \[\begin{aligned} \frac{100}{v} - \frac{100}{v + 100} &= \frac{1}{12}; \qquad | \cdot 12 \\ \frac{1200}{v} - \frac{1200}{v + 100} &= 1; \\ \frac{1200(v + 100) - 1200v - v(v + 100)}{v(v + 100)} &= 0; \\ \frac{-v^2 - 100v + 120\,000}{v(v + 100)} &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ \frac{v^2 + 100v - 120\,000}{v(v + 100)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: \[\begin{aligned} v^2 + 100v - 120\,000 &= 0; \\ D &= 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120\,000) = 10\,000 + 480\,000 = 490\,000; \\ v_1 &= \frac{-100 - \sqrt{490\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 - 700}{2} = -400; \\ v_2 &= \frac{-100 + \sqrt{490\,000}}{2 \cdot 1} = \frac{-100 + 700}{2} = 300. \end{aligned}\] Корнями числителя являются числа \(-400\) и \(300\). Знаменатель \(v(v + 100)\) обращается в нуль только при \(v = 0\) и \(v = -100\), поэтому оба числа — корни уравнения. Однако скорость может быть только положительной, поэтому число \(-400\) не подходит.
Таким образом, скорость Васи равна 300 м/мин. Вася пробежал 100 м за \(\frac{100}{300} = \frac{1}{3}\) мин, то есть за 20 с, а Петя со скоростью \(300 + 100 = 400\) (м/мин) — за \(\frac{100}{400} = \frac{1}{4}\) мин, то есть за 15 с, на 5 с быстрее.
Ответ: 300 м/мин.
