Страница 139 номер 688, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x+1}{x+8} = 0\); б) \(\dfrac{3x^2+11x}{x^2+7} = 0\); в) \(\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+4} = 0\); г) \(\dfrac{x-14}{2x} = 4\).
а) Корень числителя \(x + 1\) — число \(-1\). При \(x = -1\) знаменатель \(x + 8\) равен 7 и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-1\).
б) Числитель \(3x^2 + 11x = x(3x + 11)\) равен нулю, когда \(x = 0\) или \(3x + 11 = 0\), откуда \(x = -\frac{11}{3}\). Так как \(x^2 \geqslant 0\), знаменатель \(x^2 + 7\) положителен при всех \(x\), поэтому оба корня числителя являются корнями исходного уравнения.
в) Корни числителя \(x^2 - x - 2\) — числа \(-1\) и 2: \(-1 + 2 = 1\), \((-1) \cdot 2 = -2\).
Знаменатель \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\) при \(x = 2\) обращается в нуль, значит, 2 не является корнем исходного уравнения. При \(x = -1\) знаменатель равен \((-1 - 2)^2 = 9\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-1\).
г) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x - 14 = 4 \cdot 2x, \\ 2x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} x - 14 &= 8x; \\ x - 8x &= 14; \\ -7x &= 14; \qquad | : (-7) \\ x &= -2. \end{aligned}\] При \(x = -2\) знаменатель \(2x\) равен \(-4\) и не обращается в нуль, следовательно, исходное уравнение имеет корень \(-2\).
Ответ: а) \(-1\); б) \(-\frac{11}{3}\); \(0\); в) \(-1\); г) \(-2\).
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x+1}{x+8} = 0\); б) \(\dfrac{3x^2+11x}{x^2+7} = 0\); в) \(\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4x+4} = 0\); г) \(\dfrac{x-14}{2x} = 4\).
В пунктах а)—в) правая часть уравнения равна нулю. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, поэтому решения этих уравнений — корни числителя, которые не являются корнями знаменателя.
а) Корнем числителя \(x + 1\) является число \(-1\). При \(x = -1\) знаменатель \(x + 8\) равен 7 и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-1\).
б) Вынесем в числителе общий множитель \(x\) за скобки: \(3x^2 + 11x = x(3x + 11)\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(3x + 11 = 0\), откуда \(x = -\frac{11}{3}\). Так как \(x^2 \geqslant 0\), знаменатель \(x^2 + 7\) положителен при всех значениях \(x\), поэтому оба корня числителя являются корнями исходного уравнения.
в) По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\) являются числа \(-1\) и 2: \(-1 + 2 = 1\), \((-1) \cdot 2 = -2\). Значит, корни числителя — числа \(-1\) и 2.
Знаменатель \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\) при \(x = 2\) обращается в нуль, значит, 2 не является корнем исходного уравнения. При \(x = -1\) знаменатель равен \((-1 - 2)^2 = 9\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-1\).
г) Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x - 14 = 4 \cdot 2x, \\ 2x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а число — в правую, и разделим обе части на \(-7\): \[\begin{aligned} x - 14 &= 8x; \\ x - 8x &= 14; \\ -7x &= 14; \qquad | : (-7) \\ x &= -2. \end{aligned}\] При \(x = -2\) знаменатель \(2x\) равен \(-4\) и не обращается в нуль, следовательно, исходное уравнение имеет корень \(-2\).
Ответ: а) \(-1\); б) \(-\frac{11}{3}\); \(0\); в) \(-1\); г) \(-2\).
